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Trading-Finanzmathematik Seminar von Selzer-McKenzie
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SelMcKenzie
2006-11-26 17:28:38 UTC
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Kurs und Seminar Finanzmathematik
Author: Dieter Selzer-Mckenzie

Zinskurve, Barwerte und das No—Arbitrage—Prinzip
2.1 Zinsenszinsrechnung
Der einfachste Grundbegriff Verzinsung ist im "normalen" Bankgeschäft
zugleich auch der wichtigste: Die wesentlich "spektakuläreren" Dinge
(wie Aktien, Termingeschäfte oder Optionen) spielen, vom Volumen im
Bankgeschäft her betrachtet, eher eine untergeordnete Rolle.
Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel dazu: Ein Guthaben G werde
mit fixem jähr¬lichem Zinssatz r auf Laufzeit n Jahre angelegt. Mit
den Zinseszinsen wächst es dann im Ablauf der n Jahre sukzessive an:

0 Jahre 1 Jahr 2 Jahre n Jahre
G G(l + r) G(l + rf G{\ + r)"
2.2 Diskontierungsfaktoren und Barwerte
Angenommen, das Guthaben ist u täglich fällig": d.h.. es kann
jederzeit behoben werden, wie das z.B. bei einem einfachen Sparbuch der
Fall ist: Was ist die "richtige" Verzinsung für eine Laufzeit von t
Jahren, wenn t GR eine beliebige reelle Zahl ist (z.B. ein halbes
Jahr)?




10

20

30

40

Jahre

Abbildung 1: Aufzinsungsfaktoren bei 5% im Zeitablauf
Für den Mathematiker ist die Sache natürlich sofort klar: Potenzen xz
sind ja für beliebiges ZGM definiert, und zwar über die
Exponentialfunktion:
Der Diskontierungsfaktor (discount factor) für Laufzeit t muß also so
lauten:
Man spricht hier von einem Aufzinsungsfaktor: Das Guthaben wird über
die Laufzeit aufgezinst. Abbildung 1 zeigt diese Aufzinsung im
Zeitablauf: Bei einem festen Zinssatz von 5% versiebenfacht sich das
Guthaben in 40 Jahren.
Bemerkung 1 Es ist gebräuchlich, den Zinssatz immer für ein Jahr
anzugeben (annuali-sierter Zinssatz^), so wie wir das zuvor auch getan
haben, unabhängig von der Laufzeit, für die das Geld tatsächlich
angelegt wird (sie kann kürzer oder länger als ein Jahr sein).
Rechenbeispiel 1 Wenn wir heute ATS100.000,- auf ein täglich fälliges
Sparbuch mit einer Verzinsung von 1.5% einzahlen, dann wächst dieses
Guthaben (wenn nichts abgehoben oder eingezahlt wird, und wenn der
Zinssatz nicht geändert wird) in zweieinhalb Jahren auf folgende Summe
an:

p
100.000 • (1 + 0.015p = 100.000

2-5 = 100.000 • 1, 03792 = 103.792.

Der Aufzinsungsfaktor ist hier also 1,03792; die. aufgelaufenen Zinsen
(accrued interest,) betragen ATS3.792,-.
Mit Aufzinsungsfaktoren beantwortet man also die Frage: "Auf welchen
Betrag wächst ein Guthaben an, das heute bei festem Zinssatz r auf
feste Laufzeit t angelegt wird?". Die umgekehrte Fragestellung "Wieviel
Geld muß ich heute bei festem Zinssatz r anlegen, um in t Jahren auf
einen bestimmten Betrag zu kommen?" führt auf den Begriff
Abzinsungs-faktor: Er ist einfach der Kehrwert des Aufzinsungsfaktors.
Der Vorteil der natürlichen Schreibweise mit der Exponentialfunktion
wird hier deutlich: Man blickt ja sozusagen in der Zeit rückwärts
(von dem Zeitpunkt in t Jahren zurück auf heute), betrachtet also eine
negative Laufzeit — der richtige Abzinsungsfaktor ist also
e-log(l+r)<
Mit Abzinsungsfaktoren ermittelt man den "heutigen Wert" [present
value) einer Zahlung (cashflow) in der Zukunft: Man nennt diesen Wert
auch Barwert.
Rechenbeispiel 2 Wenn wir in eineinhalb Jahren um ATS1.000.000,- ein
Grundstück kaufen wollen, für das wir heute bereits das Geld auf die
Seite legen wollen, und zwar — wie vorhin — auf einem täglich
fälligen Sparbuch mit einer fixen Verzinsung von 1.75%, dann müssen
wir nicht die volle. Million auf die Bank tragen — es genügt:
1.000.000 • (1 + 0.0175)-1-5 = 1.000.000 • e-i°sU+o.oi75)i.5 =
i.QOO.OOO • 0, 974313 = 974.313.
Der Abzinsungsfaktor ist hier also 0,974313; die. aufgelaufenen Zinsen
für das Guthaben von ATS974.313 betragen ATS25.687:
974;313 +25.687 = 1.000.000
Kapital Zinsen Rtt-ckzahiung
Diese einfache Art, Zinsen bzw. Diskontierungsfaktoren zu berechnen,
wird als finanzma-thematische Verzinsung oder stetige Verzinsung
(continuous compounding) bezeichnet.
Bemerkung 2 Die. "natürliche" Schreibweise mit der
Exponentialfunktion, die wir hier verwenden, findet sich in den meisten
theoretischen Lehrbüchern (Volkswirtschaft, Finan-zwissenschaft): Dort
wird daher oft
R = log(l + r)
als jährlicher Zinssatz angesehen. Für praktische Berechnungen darf
man das natürlich nicht mit dem jährlichen Zinssatz r verwechseln,
wie. er in der Bank (meist in Prozent) angegeben wird!

In der Praxis ist die Sache noch etwas komplizierter: Es gibt
verschiedene day count Con-ventions (actual/actual. 30/360, actual/360)
zur Ermittlung der Laufzeit in Jahren (so werden Laufzeiten ja
gewöhnlich angegeben, entsprechend der Angabe von annualisierten
Zinssätzen):
Beispiel 1 Wenn man Geld für exakt 150 Tage anlegt, dann entspricht
das unter der Konvention actual/360 einer Laufzeit von ^ ~ 0.416667
Jahren; hingegen unter der Kon¬vention actual/actual einer Laufzeit
von 70 ~ 0.410959 Jahren (bzw. TM ~ 0.409836 in einem- Schaltjahr).
Weiters spielen in der Praxis auch noch "Vereinfachungen" eine Rolle,
die auf eine "Linea-risierung" hinauslaufen — für kurze Laufzeiten
(unter einem Jahr) bleibt diese Näherung auch recht nahe an der
finanzmathematischen Verzinsung:
Diese Linearisierung macht das Rechnen mit der Hand natürlich
einfacher, allerdings entste¬hen dadurch andre Komplikationen: Für
das Verstehen der grundlegenden Fragestellungen genügt die
finanzmathematische Verzinsung völlig, daher bleiben wir in der Folge
dabei (und verwenden meistens die Schreibweise mit der
Exponentialfunktion).
Diese einfachen Begriffe "Diskontierungsfaktoren und Barwerte" reichen
schon aus, um die Bewertung (pricing) vieler zinsgebundener Produkte
durchzuführen: Anleihen, Termin¬geschäfte und Swaps.
2.3 Das No—Arbitrage—Prinzip
Wir haben oben ganz selbstverständlich die finanzmathematische
Verzinsung eingeführt — rein mathematisch gesehen war das auch das
"einzig Richtige".
Man kann aber auch mit einem einleuchtenden wirtschaftlichen Argument
"begründen". daß unsere Diskontierungsfaktoren für beliebige
Bruchteile von Jahren die "richtigen" sind:
Bezeichnen wir dazu den "richtigen" Aufzinsungsfaktor für eine
beliebige Lautzeit t bei fixem jährlichem Zinssatz r mit DrJ,. Dann
gilt für alle ganzen Zahlen n G Z:
Wir argumentieren nun, daß für einen beliebigen Bruch - folgende
Gleichung gelten sollte:
(1)


Daraus würde sofort die Richtigkeit der finanzmathematischen
Verzinsung für beliebige rationale, Laufzeiten t = f E Q folgen (die
Gültigkeit für ganz K folgt dann aus einem Stetigkeitsargument).
Angenommen, Gleichung (1) wäre nicht erfüllt: Dann ist also entweder
r/

— dann wäre es aus Sicht des Anlegers aber günstiger, das Guthaben
nach jeweils 2 Jahren samt Zinsen abzuheben und sofort wieder
anzulegen, und das insgesamt q-mal, statt es einfach auf p Jahre
anzulegen.
Oder es ist umgekehrt

dann wäre es aus Sicht der Bank aber günstiger, von jährlicher
Verzinsung auf £-jährliche Verzinsung umzustellen.
Beide Annahmen würden also einen "instabilen" Zustand ergeben; ein
"Gleichgewichtszu¬stand" ergibt sich nur, wenn Gleichung (1) erfüllt
ist.
Hinterfragen wir dieses "Gleichgewichtsargument" noch weiter: Warum
sollte ein solcher "instabiler Zustand" denn nicht möglich sein?
Nehmen wir einmal (etwas unrealistisch!) an, daß man immer zum exakt
gleichen Zinsssatz Geld ausborgen und anlegen kann.
Würde dann die letzte Ungleichung gelten, dann könnte ich mir also
heute einen Betrag G auf £ Jahre ausborgen und die gesamte Summe auf
insgesamt p Jahre anlegen; die
Rückzahlungen zu den Terminen 2,... , ——— würde ich durch
Neu-Ausborgen der jeweils benötigten Summen (wieder auf - Jahre)
bestreiten:

Zeit Soll Haben
0 -G G
£ 1 -G(Dr>E)
■2p 1 -G(Dr*)2

(q-i-)p -G(A^)^1
q


P -G(Drz)« G{l + r)P

Nach p Jahren könnte ich also die positive Differenz
G ■ ((1 + rf - (DrJ_y




einstreifen: ohne Kapital oder Arbeit (einmal abgesehen von der
Unbequemlichkeit, insge¬samt (q — l)-mal Geld neu ausborgen zu
müssen) einzusetzen und ohne mich einem Risiko auszusetzen.
Es ist ein ebenso einfaches wie häufig benutztes Grundprinzip bei der
Bewertung von Finanzinstrumenten (Anleihen, Aktien, Futures, Optionen,
etc.), daß solche Arbitrage-Gewinne, also Gewinne ohne Kapitaleinsatz
und ohne Risiko, nicht möglich sind (jedenfalls theoretisch).
Warum nicht? — Die Idee hinter diesem No-Arbitrage-Prinzip ist die:
Jede echte Arbitrage-Möglichkeit lockt sofort Marktteilnehmer an, die
die Situation ausnützen und sie dadurch schnell wieder zum
Verschwinden bringen.
Beispiel 2 Das einfachste Beispiel dafür ist die sogenannte
Platz-Arbitrage; Wenn ein und dasselbe Wertpapier an zwei verschiedenen
Börseplätzen A und B zu verschiedenen Preisen gehandelt wird, also
etwa
PA > PB,
dann kann ein findiger Investor n Papiere, in B kaufen, sofort nach A
bringen und dort verkaufen — der risikolose Gewinn ist dann
n(PA-PB).
Aber gerade durch das Ausnützen dieser Möglichkeit wird in B die
Nachfrage erhöht (und dadurch auch tendenziell der Preis), während in
A das Angebot erhöht wird (und dadurch der Preis tendenziell gesenkt):
Insgesamt verschwindet also rasch jene Preisdifferenz, die. die
Arbitrage-Möglichkeit verursacht hat. (Genau genommen müßte es also
nicht "No-Arbitrage" heißen, sondern
'"'Only-Very-Short-Term-Arbitrage"'.)
In der Praxis werden freilich die. Transportkosten nicht Null sein:
außerdem ist eine sol¬che Transaktion mit einem gewissen Risiko
behaftet (beim Transport könnten die Papiere, verloren gehen) — die
'No-Arbitrage-Bedingung" wird daher nicht
PA = PB
lauten, sondern
\PA — PB\ < Transportkosten + Versicherung.
10

Prozent


150 200
250
Tage

Abbildung 2: Zinskurve ATS kurz
2.4 Zinskurve und Fristentransformation
Bisher haben wir einen fixen Zinssatz betrachtet; im allgemeinen ist
der (jährliche) Zinssatz r aber abhängig von der Laufzeit t: Für
feste zeitliche Bindungen (d.h., das veranlagte Geld kann nicht ohne
weiteres vor Ende der vereinbarten Laufzeit behoben werden) gelten in
der Regel andere Zinssätze als für täglich fällige Gelder — der
Zinssatz r ist also eine eine Funktion r(t) der Laufzeit t. Diese
Funktion bezeichnet man als Zinskurve (yield curve, term structure of
interest rates).
Zum Beispiel sah die Zinskurve im österreichischen Schilling am 30.
Juni 1999 so aus wie in Abbildung 2.
Die Abbildung zeigt das sogenannte kurze Ende der Zinskurve (Laufzeiten
unter einem Jahr); man spricht das auch vom Geldmarkt bzw. von
Geldmarkts ätzen: Für Laufzeiten über einem Jahr spricht man von
Kapitalmarkt bzw. Kapitalmarkts ätzen: das ist das soge¬nannte lange
Ende, der Zinskurve.
Bemerkung 3 Es ist vielleicht ein bißchen verwirrend: Die. Werte, der
Zinskurve sind immer als annualisierte Zinsen zu verstehen, also
umgerechnet auf ein Jahr, auch wenn die entsprechende Laufzeit eine
ganz andre ist als ein Jahr. Diskontierungssfaktoren für Laufzeit t
sehen dann einheitlich so aus: (1 + r(t)) .
Das in Abbildung 2 erkennbare monoton steigende Verhalten der Zinskurve
ist typisch (man spricht von einer steilen Zinskurve), aber keineswegs
zwingend: Zinskurven können auch fallend sein; man spricht dann von
einer inversen Zinskurve, wie sie z.B. im Schweizer Franken bis etwa 30
Tage Laufzeit gegeben war (siehe Abbildung 3).
Bei einer steilen Zinskurve kann eine Bank also ein langfristiges, hoch
verzinstes Darlehen vergeben, das sie durch ständiges Neu-Ausborgen
von kurzfristigen, niedrig verzinsten Geldern refinanziert: Der
sogenannte Strukturbeitrag bei einer solchen Ausleihung ist die
Differenz zwischen den Zinsen der Ausleihung und den
Refinanzierungszinsen: er ist umso größer, je steiler die Zinskurve
ist. Bei einer flachen (konstanten) Zinskurve fällt dieser Ertrag aus
der sogenannten Fristentransformation weg — die Bank lebt dann nur
noch vom Konditionenbeitrag. das ist der Aufschlag, der dem Kunden
verrechnet wird (d.h.,
11

Prozent
1.45 1.4
1.35 1.3
1.25 1.2
1.15

250
50

100

150

200

i Tage

Abbildung 3: Zinskurve CHF kurz
wenn die Bank selbst Geld zu Zinssatz r ausborgen kann, verleiht sie es
zu Zinssatz r + e weiter an den Kunden).
Bemerkung 4 Tatsächlich wurde, die. Zinsmarge in den letzten Jahren
immer geringer — die Zinskurve wurde, also flacher. In der Hoffnung
auf zusätzliche. Erträge gewinnt deshalb der Handel mit "neuen
Produkten" (Derivate, etc.) an Bedeutung. Dafür werden ver¬mehrt
quantitativ ausgebildete Leute gebraucht, die die damit verbundenen
neuen Aufgaben (Produktentwicklung; Bewertung, Risikomanagement,)
bewältigen können.
2.5 Zinsänderungs—, Liquiditäts— und Ausfallsrisiko
Gibt es nun also doch Möglichkeiten für jene Arbitrage-Gewinne, die
wir zuvor gerade theoretisch ausgeschlossen haben? — In einem
gewissen Sinne ja: Die Banken haben eine Art "Monopolstellung" (ein
normaler Kreditkunde kommt ja an 3-Monats-Gelder gar nicht heran;
jedenfalls nicht zu den Interbank-Konditionen). Zudem verhält sich ein
typischer Kreditkunde auch anders als ein Arbitrageur (ein Kredit wird
ja in der Regel nicht aus "Spekulationsabsicht" aufgenommen).
Freier Markteintritt und freies Wechselspiel von Angebot und Nachfrage
sind hier also nicht in dem Maße gegeben, wie sie für unser
No-Arbitrage-Prinzip notwendig wären.
Davon abgesehen ist die Fristentransformation aber ohnehin keine echte
Arbitragemöglich¬keit: Sie ist nämlich keineswegs risikofrei!
Zinsänderungsrisiko: Die Zinsen sind ja keineswegs immer die gleichen:
das Zinsände-rungsrisiko besteht bei der Fristentransformation darin,
daß die kurzfristigen Zinsen steigen und/oder die langfristigen Zinsen
sinken und so den Ertrag aus der Fristen-transformation in einen
Verlust verwandeln (wenn die Zinskurve invers wird).
Liquiditätsrisiko: Auch wenn die Zinsen an sich unverändert bleiben,
kann eine Situation eintreten, wo die Refinanzierung nicht oder nicht
vollständig durchgeführt werden kann, weil nicht genügend
Liquidität im Markt besteht (d.h. in unserem Beispiel, daß die Bank
nicht genügend kurzfristiges Geld ausborgen kann).
12

Ausfallsrisiko: Schließlich können Darlehen "notleidend" bzw.
"uneinbringlich" werden, sodaß sie schließlich "wertberichtigt"
werden müssen. Diese beschönigenden Worte bedeuten: Der Schuldner
(Kreditnehmer, Emittent einer Industrieanleihe) kann die aufgenommene
Summe nicht mehr zurückzahlen; das Kreditrisiko, das die Bank trägt,
ist also schlagend geworden.
2.6 Kreditrisiko — verschiedene Zinskurven
Unter "Kreditrisiko'' versteht man einfach die Gefahr für den
Gläubiger, daß der Schuldner die Ausleihung nicht zurückzahlt (er
fällt also aus: Ausfallsrisiko, default risk).
Stellen wir hier einmal die Frage, warum überhaupt Zinsen bezahlt
werden (in machen Kulturen wird das Verleihen gegen Zinsen ja als
unmoralisch angesehen und ist daher verboten):
• Zinsen sind zum einen eine Prämie dafür, daß das verliehene Geld
nicht sofort in
Konsumgüter investiert werden kann,
• Zinsen sind zum anderen aber auch eine Risikoprämie dafür, daß
der Schuldner aus¬
fallen kann.
Es ist klar: Je höher dieses Ausfallsrisiko (Problem: Quantifizierung
von Kreditrisiko) ist, desto höher sollte die Risikoprämie ausfallen
(Problem: Pricing oder Konditionengestaltung für Kredite).
Bemerkung 5 Abstrakt betrachtet, gibt es hier eine Analogie zu einer
ganz vertrauten Sa¬che: Bei einer KFZ-Haftpflichtversicherung trägt
die Versicherungsgesellschaft das Risiko von möglichen Schäden und
hebt dafür eine Versicherungsprämie ein. Der Witz dabei ist, daß die
Verluste aus Schadensfällen insgesamt (im- Erwartungswert) geringer
sind als die. vereinnahmten Prämien (minus dem Verwaltungsaufwand) —
und genauso ist es bei der Konditionengestaltung für Kredite.
Bekanntlich steigen die. Versicherungsprämien mit der Größe des
Risikos: Bei KFZ-Haft-pflichtversicherungen versucht man, die
Versicherungsnehmer in ein Bonus-Malus-System einzuordnen, das den
"Risikograden" entspricht, und paßt daran die Prämien an — und
genauso ist es bei der Bonitätsbeurteilung von Kreditnehmern.
Ein Schuldner mit höherem Ausfallsrisiko (geringere Bonität) wird
höhere Zinsen für eine Ausleihung aufwenden müssen als ein Schuldner
erstklassiger Bonität.
In der Praxis werden Bonitätsklassen für große Firmen durch ein
Rating ausgedrückt, das von internationalen Rating-Agenturen
festgelegt wird (Moody's, Standard & Poor). Für kleinere Firmen oder
Privatkunden existieren meist nur bankinterne Ratings auf der Grundlage
der Einschätzungen durch die Kreditbetreuer.
13

Schuldverschreibungen von Regierungen (Staatsanle.ihe.7i) und
Ausleihungen zwischen grö-ßeren Banken (Interbank-Geschäft) gelten
im wesentlichen als risikofrei: Wenn wir vorhin von der Zinskurve
gesprochen haben, dann hatten wir immer diese sogenannte risikofreie.
Zinskurve, im Sinn.
In der Praxis hat man es aber für jede Bonitätsklasse mit einer
eigenen Zinksurve zu tun: Den Abstand (die Differenz) zwischen zwei
Zinskurven für unterschiedliche Bonität bezeichnet man auch als
Spread (credit spread).
Kreditzinsen für ein typisches Darlehen enthalten also neben dem
risikofreien Zinssatz r (den auch ein erstklassiger Schuldner. z.B. die
Republik Österreich, bezahlen müßte) auch einen credit spread A,
entsprechend der Bonität des jeweiligen Schuldners.
Nehmen wir einmal an, daß ein Schuldner in einer gewissen
Bonitätsklasse mit Wahrschein-lichkeit p ausfällt und mit
Wahrscheinlichkeit l—p seine Schulden zurückzahlt: Plausibler¬weise
sollte dann folgende Ungleichung für ein endfälliges Darlehen mit
Laufzeit T erfüllt sein:
rf- (2)


Erwarlungswcrt
3 Finanzinstrumente: Underlyings
Der Begriff Finanzinstrumente ist sehr weit gefaßt, er umfaßt
• Börsegehandelte Produkte: Anleihen. Aktien, Rohstoffe, Futures,
Optionen,
• Außerbörsliche Produkte (OTC-Produkte:
"Over-The-Counter"-Produkte): Devi¬
sentermingeschäfte, Swaps. FRAs. Optionsscheine.
Etwas unscharf ist die Trennung zwischen Underlying und Derivat, denn
ein Derivat kann sehr wohl selbst wieder ein Underlying sein (z.B. ist
eine Swaption eine Option auf einen Swap). Eine zirkuläre Definition
wäre: Ein Underlying ist ein Finanzinstrument, auf das sich ein
Derivatives Finanzinstrument beziehen kann.
3.1 Anleihen (Bonds, Schuldtitel, Fixed Income)
Anleihen sind Wertpapiere, die die Rückzahlung des Nominale am Ende
der Laufzeit ver-briefen, sowie (in der Regel) periodische
Zinszahlungen (Kupon) während der Laufzeit. Darunter fallen
Staatsanleihen, Industrieanleihen oder Bankanleihen.
14

Die Bezeichnung Fixed Income bedeutet, daß mit solchen Papieren ein im
vorhinein be¬kanntes (fixiertes) Einkommen verbunden ist; im Gegensatz
zu den meist Ungewissen Di¬videnden bei Aktien.
3.1.1 Festverzinsliche Anleihen (Fixed Bonds)
Darunter versteht man Anleihen, deren Verzinsung von Anfang an
festgelegt (fixiert) ist: im Gegensatz zu den variabel verzinslichen
Anleihen, deren Verzinsung während der Laufzeit angepaßt wird.
3.1.1.1 Nullkupon-Anleihe (Zero-Bond) Die Anleihe kann so gestaltet
sein, daß die aufgelaufenen Zinsen (accrued interesi) ein einziges Mal
ausgezahlt werden, nämlich "verpackt" in der Rückzahlung am Ende der
Laufzeit. (Die Bezeichnung "Null-Kupon-Anleihe" ergibt sich aus der
Tatsache, daß während der Laufzeit keine Zinszahlungen (Ku¬pons)
erfolgen.)
Sei Ar die Rückzahlung, 0 der Beginn und T das Ende der Laufzeit: Was
ist der "richtige" Wert dieses Zero-Bonds zu einem beliebigen Zeitpunkt
s E [0,T]?
Gemäß dem No-Arbitrage-Prinzip ist der richtige Wert Vs zum Zeitpunkt
s gerade jene Summe, die ich bei der aktuellen Zinskurve rs investieren
müßte, um zum Zeitpunkt T diesselbe Auszahlung (denselben cashflow)
zu erhalten, die die Anleihe garantiert. Sei R(t) := log (1 + rs(t));
zum Zeitpunkt s hat die Anleihe die Restlaufzeit (T — s), also
erhalten wir:
das ist nichts anderes als der Barwert zum Zeitpunkt s.
Bemerkung 6 Es ist ein bißchen verwirrend: Die Zinskurve ist eine
Funktion der Zeit (Laufzeit); sie. ist aber selbst im Ablauf der Zeit
nicht konstant (sie. kann sich verschieben, drehen, etc.): Unter rs(t)
verstehen wir also jenen annualisierten Zinssatz, der
• zum Zeitpunkt s
• für die Laufzeit t (also Fälligkeitstermin s + t!)
gültig ist.
Bemerkung 7 Mari muß klar auseinanderhalten: Der (Bar-)Wert einer
Anleihe und ihr Nominale hängen zwar zusammen, sie stimmen aber in der
Regel nicht überein!
15

Umgekehrt ergibt sich aus einem bekannten Marktpreis Vs für diese
Nullkuponanleihe sofort der Zinssatz rs(T — s), also ein Punkt auf
der Zinskurve: Man nennt die Zinskurve deshalb auch zero-coupon
yield-curve oder einfach ze.ro curve.
Bemerkung 8 Abstraktion: Barwert als Wert einer zukünftigen Zahlung.
Wenn wir den Barwert in diesem- Zusammenhang als Marktwert (im Sinne,
von Preis eines handelbaren Gutes) betrachten, dann bedeutet das, daß
wir den zukünftigen cashflow kaufen und verkaufen können: An den
Gedanken, daß man auch "unkörperliche", abstrakte Dinge. (wie. ein
Recht oder eine zukünftige. Leistung) kaufen und verkaufen kann, muß
man sich einmal grundsätzlich gewöhnen, dann versteht man auch die
sogenannten Derivate leicht.
3.1.1.2 Kupon Anleihe (Coupon Bearing Bond) Eine Kupon-Anleihe
garantiert feste Zinszahlungen (Kupon) zu festgelegten Zeiten während
der Laufzeit (im allgemeinen periodisch, z.B. jährlich oder
halbjährlich): Dieser Typ von Anleihen ist der häufigste.
Beispiel 3 Wir betrachten eine. Anleihe, mit Nominale N und jährlichem
Kupon entspre¬chend einem (annualisierten) Zinssatz r bei einer
Laufzeit von 5 Jahren: Dies ergibt einen zukünftigen Zahlungsstrom
(cashfiowyl:

Zeit in Jahren: 1 2 3 4 5
Cashflow: N ■ r N ■ r N ■ r N ■ r N ■ (1 + r)
Für jeden dieser 5 einzelnen cashflows können wir die. Barwerte,
berechnen (wie beim ze.ro bond): der Wert des coupon bearing bond ist
also (sei wieder R(s) := log(l + ro(s))):

N ■ r ■

+ e-°-R{2) +

3'Ä(3> + e.

) + N ■ (1 + r)

Diese simple Zerlegung des Finanzinstruments in seine "atomaren
Bestandteile" (zero bonds) zum Zweck der Bewertung wird als
"Strippingv bezeichnet.
3.1.1.3 Duration eines Anleihenportfolios Verallgemeinern wir die
Bewertung von coupon-bearing bonds: Ein beliebiger cashflow ist nichts
anderes als eine Menge von Zah-lungen AT,; zu bestimmten Zeitpunkten
£,,-. Der Barwert eines solchen cashflows hängt von der aktuellen
Zinskurve R ab:
(3)
■;=i
Einen so allgemeinen cashflow erhält man z.B., wenn man ein Portfolio
von Anleihen betrachtet.
16

Prinzipiell kann sich die Zinskurve rt im Zeitablauf "frei" bewegen —
nehmen wir aber als grobe Vereinfachung einmal an, es wären nur
parallele Shifts der Zinskurve möglich; d.h., die Zinskurve kann sich
nur als ganzes aufwärts oder abwärts bewegen:
R(t,a) := R(t) + a.
Der Barwert hängt dann natürlich von diesem "Shift-Parameter" a ab:
Barwert =


Differenzieren wir nun nach o~ an der Stelle o~ = 0:
k i .
ABarwert =

Mathematisch gesehen, haben wir hier die "infinitesimale Änderung des
Barwerts bei einem infinitesimalen parallelen Shift" ausgedrückt: Die
entsprechende relative Änderung, mit negativem Vorzeichen versehen

-ABarwert _ ^Li U ' A7^-''^


Barwert " ^ JVie-'^)
bezeichnet man als Duration des cashflows: Sie ist so etwas wie die
"durchschnittliche Laufzeit" des Portfolios. Diese einfache Kennzahl
wird in der Praxis häufig verwendet.
3.1.1.4 Zinsänderungsrisiko bei festverzinslichen Anleihen Bei
festverzinslichen Anleihen sind die Zinszahlungen fixiert: Woraus
sollte sich hier ein Zinsänderungsrisiko ergeben? Gemeint ist
natürlich das Risiko, daß sich die Marktzinsen (also die Zinskurve)
ändern; und damit auch die Barwerte von festverzinslichen Anleihen:
Die Überlegungen zur Duration zeigen, daß bei einer parallelen
Verschiebung der Zinskurve nach oben der Barwert sinkt.
Das ist auch "intuitiv" klar: Wenn ich vor einem Jahr ATS100.000 auf 5
Jahre zu 6% veranlagt habe, und heute könnte ich ATS100.000 auf 4
Jahre zu 8% veranlagen, dann habe ich einen Verlust (zumindest im Sinne
von entgangenem Gewinn) erlitten.
3.1.1.5 Ermittlung der Zinksurve: Bootstrapping Bisher haben wir so
getan, als wäre die Zinskurve vorgegeben, und Anleihepreise würden
sich daraus berechnen lassen. In Wirklichkeit muß aber die Zinskurve
erst aus Marktpreisen ermittelt werden, bevor man sie in der Folge für
die Bewertung von Finanzinstrumenten verwenden kann.
In der Regel kennt man kurzfristige Zinssätze aus dem
Interbankenhandel {Geldmarkt¬zinssätze) für "typische" Laufzeiten (1
Tag, 1 Monat, 3 Monate. 6 Monate, 1 Jahr).

Längerfristige Zinssätze {Kapitalmarktzinssätze) müssen aus
Bondpreisen oder Siuapsätzen rückgerechnet werden (bootstrapping).
Wir haben gesehen: Wenn Preise von Nullkuponanleihen mit verschiedenen
Restlaufzei¬ten bekannt sind, kann man die Werte der Zinskurve für
die entsprechenden Laufzeiten unmittelbar ablesen.
Etwas schwieriger ist die Sache bei Kuponanleihen: Hier wird man die
Zinskurve z.B. für 2,3.5, und 10 Jahre (stückweise linear) so
bestimmen, daß die Summe der quadrierten Abweichungen der
theoretischen Bondpreise von den tatsächlich beobachteten ein Minimum
wird ("Methode der kleinsten Quadrate").
In dem speziellen Fall, daß wir n Anleihen mit jeweiliger Restlaufzeit
von genau 1, 2,.... n Jahren und zugehörigen effektiven Kuponrenditen
ci? c2,... , c„ (das ist nicht dasselbe wie die Zins aus stattung des
Wertpapiers, die die Zinsen in Prozent des Nominale ausdrückt: Die
effektive Rendite bezeichnet die Zinsen in Prozent des Marktwerts])
kennen, können wir zunächst (Nullkupon-) Abzinsungsfaktoren Dk für
Laufzeiten von genau k = 1, 2,.... n Jahren mit der folgenden Formel
ermitteln:
k 1
Dk = l- ck V —. . (4)
Beweis: Die Gültigkeit der Formel (4) ergibt sich aus folgender
Überlegung: Einfaches Abzinsen der cashflows aus den Kuponanleihen
liefert die Gleichungen
fc-i
(5)
für k = 1, 2,... n. Diese Gleichungen lassen sich offensichtlich
rekursiv nach Dk auflösen.
Um auf die Lösung (4) zu kommen, formen wir die Gleichung (5) um:
k „
" ri = ^-^. (6)

Ersetzt man die Summe in (5) durch den durch (6) gegebenen Ausdruck, so
erhält man eine einfachere Rekursion für die Dk:

Durch direktes Einsetzen erkennt man nun, daß die Formel (4) diese
Rekursion erfüllt:
ebenso ist die Anfangsbedingung d± = 1/(1 + c±) erfüllt. □
Aus den Nullkupon-Abzinsfaktoren gewinnt man natürlich sofort die
Zerorenditen:
18

Prozent

4
4
2
2
3

Jahre

0.028
0.026
0.024
0.022
Abbildung 4: Ausgerechnete Zerorenditen
In jedem Fall ist die Zinskurve aber nur an wenigen Stützstellen
wirklich bekannt: Zinssätze, die dazwischen liegen, werden
interpoliert (z.B. einfach linear).
Rechenbeispiel 3 Seien die Kuponrenditen für die nächsten 5 Jahre
gegeben als
C! = 0.021, c2 = 0.025, c3 = 0.0275, c4 = 0.028, c5 = 0.0297. Dann
liefert die Formel (4) die folgenden Ze.ro-Abzinsfaktoren:
DL = 0.979432, D2 = 0.951721, D3 = 0.921551,04 = 0.895063, D5 =
0.863059. Dies ergibt folgende Zerorenditen:
n = 0.021, r2 = 0.0250502, r3 = 0.0276067, r4 = 0.0281031, r5 =
0.0298926.
Siehe dazu Abbildung Jh
Den Zinssatz für 2.75 Jahre ermittelt man nun durch lineare
Interpolation:
r2.75 = r2 + 0.75(r3 - r2) = 0.0269676, das sind also etwa 2,1%.
3.1.2 Variabel verzinsliche Anleihen (Floating Bonds, Floaters)
Im Unterschied zu festverzinslichen Papieren werden die Zinszahlungen
bei floating bonds (floaters) nicht ein für alle Mal festgelegt,
sondern zu gewissen Terminen während der Laufzeit angepaßt:
Zum Beispiel könnte vereinbart werden, daß für jedes Vierteljahr der
jeweils gültige 3-Monatssatz gezahlt wird, d.h.: Der Käufer der
Anleihe erhält nach den ersten 3 Monaten
19

Zinsen entsprechend jenem 3-Monatssatz, der zu Beginn der 3 Monate
galt; gleichzeitig mit der Zahlung wird als Zinsatz für die nächsten
3 Monate der aktuell gültige 3-Monatssatz festgelegt (dies ist der
typische Fall: Kupontermin = Zinsanpassungstermin).
Was folgt also für die Bewertung? Gemäß einer Barwertbetrachtung ist
der Wert der Anleihe an jedem Zinsanpassungstermin (unmittelbar nach
der fälligen Kuponzahlung) ge¬nau gleich dem Nominale, denn: Zwischen
zwei Zinsanpassungsterminen ist der Zinssatz fix, die Anleihe
entspricht daher einem zero-bond (mit kurzer Restlaufzeit) mit der
au¬tomatischen Reinvestition (Wiederveranlagung) des Nominales in
einen gleichartigen, fair ausgestatteten zero-bond am Laufzeitende.
Für den Wert des Bonds ergibt sich
wobei IQ den vorangegangenen Zinsanpassungs- bzw. Kupontermin bedeutet
und R den damals fixierten Zinssatz für die folgende Periode bis ty: t
bezeichnet den Bewertungs-Zeitpunkt zwischen IQ und t^.
Bemerkung 9 Wir haben gesehen, daß die Zinskurve ja keine
"Naturkonstante" ist: Wo¬her kommen die "richtigen Zinssätze'' zu den
Anpassungsterminen, kann es da nicht zu Streitfällen kommen? — In
der Regel werden als Referenzzinsätze für die Anpassung
"un¬strittige'', wohlbekannte Sätze herangezogen: Der LIBOR (London
Interbank Offer Rate,) ist der Zinssatz, zu dem Banken einander
gegenseitig Geld borgen (es handelt sich hier um die Geldmarktsätze,
von denen schon die Rede war), etwa I-Monats-Libor, 3-Monats-Libor.
etc.
Eine Frage drängt sich hier auf: Bei der Zinskurve hatten wir gesehen,
daß "am kurzen Ende" (Geldmarkt) in der Regel niedrigere Zinsen
herrschen als "am langen Ende" (Kapi¬talmarkt). Warum sollte also
überhaupt eine Nachfrage nach derartigen Bonds bestehen? — Des
Rätsels Lösung liegt in der Risikobetrachtung: Ein floating bond
garantiert (in ei¬nem gewissen Sinn) immer die "richtigen" Zinsen: Ein
Zinsänderungsrisiko (das den Wert eines fixed bonds stark beeinflussen
kann, siehe die Überlegungen zur Duration) besteht hier ja immer nur
in der (relativ kurzen) Periode zwischen zwei Anpassungsterminen.
Bemerkung 10 Wir erwähnen eine weitere. Komplikation: Es ist zwar
absolut üblich, daß der angepaßte Zinssatz mit der Periode zwischen
zwei Anpassungsterminen übereinstimmt; dies ist aber keineswegs
zwingend: Sehr lüohl könnte beispielsweise die. sogenannte
Se-kundär-Markt-Rendite (SMRj (ein Kapitalmarktsatz-Durchschnitt) oder
(einfacher) ein 5-Jahres-Satz vierteljährlich ausbezahlt und
neuangepaßt werden. In diesem Fall würde, also zum nächsten
Kupontermin bezahlt:
jy _ e0.25-(R(rj.O)-Abschlag)
(Der Abschlag kommt daher, daß der 5-Jahres-Satz ja ein
ungerechtfertigt hoher Zinssatz für die kurze Laufzeit wäre.)
20

Bemerkung 11 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen Anleihe und
Darlehen? — Eine Anleihe ist in wirtschaftlicher Hinsicht dasselbe
wie eine Ausleihung: Der Käufer des Wertpapiers verleiht das Nominale
auf eine geiuisse Zeit für fixe oder variable Zinsen — ein
gewöhnliches Darlehen kann aber auch fix oder variabel vereinbart
werden.
Der Unterschied liegt in der praktischen Handhabung und ist sehr
wesentlich:
Ein Darlehen ist ein Vertrag zwischen zwei Partnern — dem Kreditgeber
und dem Kredit-nehmer, der für beide Seiten bindend ist. Rechte und
Pflichten aus diesem- Vertrag können nicht ohne weiteres übertragen
werden.
Ein Wertpapier ist da viel flexibler: Es kann (jedenfalls im Prinzip:
bei entsprechender Li-quidität) jederzeit ge- und verkauft werden und
schafft so die Möglichkeit, mit Ausleihungen zu handeln. Insbesondere
ist ein direkter Kontakt zwischen dem Kreditgeber (Käufer der Anleihe)
und Schuldner (Emittent, Verkäufer der Anleihe) nicht mehr
erforderlich!
Dieser einfach scheinende Aspekt ist tatsächlich sehr wichtig: Die
Schaffung derartiger Handels- oder Tauschmöglichkeiten liegt vielen
sogenannten Derivativgeschäften zugrunde. Zum Beispiel zielen die
sogenannten Kreditderivate darauf ab. die Kreditrisiko-Komponen¬te aus
einem Kreditportfolio herauszulösen und zu einem handelbaren Gut zu
machen.
Ein Nebenaspekt dieser Flexibilisierung ist die Tatsache, daß auch
'kleine'' Kreditgeber sich an einer ''großen'' Ausleihung beteiligen
können, d.h., von einer Emission im- Gesamtvolu¬men von
ATS25.000.000.000 kann ein Kleinanleger ja ohne, weiteres (je nach
Stückelung) z.B. Papiere im Wert von nur ATSl0.000 erwerben. (Diese
Losgrößentransformation ist übrigens auch eine der Funktionen der
Bank, die ja ebenfalls große Ausleihungen auf viele kleine
Spareinlagen gewissermaßen aufteilt.)
3.2 Aktien (Equities)
Im Vergleich mit Anleihen sind Aktien (Equities, Substanzwerte) in
einer wesentlichen Hinsicht einfacher: Ihr Wert hängt nur von einem
Parameter ab (nämlich dem jeweiligen Aktienkurs), während Anleihen
von der Zinskurve (z.B. modelliert als 6-dimensionaler Vektor der Werte
an den Stützstellen 1 Monat. 3 Monate, 6 Monate, 1 Jahr, 5 Jahre und
10 Jahre) abhängen.
Wie bei Anleihen gibt es auch bei Aktien periodische Zahlungen: Diese
Dividenden sind aber nicht im vorhinein fixiert (sie können auch
ausfallen!) und hängen in der Regel vom wirtschaftlichen Erfolg des
Unternehmens ab. (Dies trifft allerdings auch auf Anleihen zu, wo die
an sich fix vereinbarten Zahlungen bei gravierendem wirtschaftlichen
Mißerfolg ausbleiben können).
21

3.2.1 Wandelanleihe
Eine Mischform ist die Wandelanleihe: Es handelt sich dabei um eine
Industrieanleihe, die in eine Aktie des Emittenten umgewandelt werden
kann.
Von der Bewertung her kann man das als eine Anleihe zusammen mit einer
Call-Option (dazu kommen wir später noch) auf die entsprechende Aktie
ansehen.
3.3 Devisen (Foreign Exchange, FX)
Von großer praktischer Bedeutung sind natürlich fremde Währungen:
Der Wert einer Fremdwährungsposition hängt an sich nur vom aktuellen
Wechselkurs ab; komplexer wird die Sache allerdings durch die
Berücksichtigung der fremden Zinskurve (z.B. bei
Fremdwäh-rungskrediten) .
Gold wird häufig zu den Währungen gezählt, nicht zu den Rohstoffen.
3.4 Rohstoffe (Commodities)
Der Handel mit Rohstoffen (01, Kaffee. Schweinehälften, etc.) spielt
weltweit eine große Rolle: Theoretisch ist die Sache einfach: Im
wesentlichen hängt der Wert einer Rohstoff-position nur vom jeweiligen
Preis ab.
Komplizierter wird die Sache in der Praxis durch Lager- und
Transportkosten; im Zu-sammenhang mit Termingeschäften spielt auch die
Convenience Yield eine Rolle (darunter versteht man den Vorteil, den
der tatsächliche Besitz von Rohstoffen mit sich bringt).
4 Finanzinstrumente: Derivate
Eine zirkuläre Definition von Derivat wäre: Ein Derivat ist ein
Finanzinstrument, das sich auf ein Underlying bezieht.
4.1 Termingeschäfte (Forward Contracts)
Der Inhalt eines Terminkontrakts ist der Kauf bzw. Verkauf eines
Finanzinstruments auf Termin; d.h., zu einem festgelegten Zeitpunkt in
der Zukunft zu einem im voraus bestimm¬ten Preis (Terminkurs, Forward
Price). Das dem Kontrakt zugrundeliegende Finanzinstru¬ment ist hier
das Underlying.
22

Bemerkung 12 Was ist der wirtschaftliche Hintergrund derartiger
Verträge'': — Ein ty¬pischer Fall wäre z.B. ein Produzent, der
einen Auftrag aus dem- Ausland hat und dement¬sprechend eine. Zahlung
in fremder Währung zu einem- bestimmten Termin erwartet: Zur seihen
Zeit wird auch eine Darlehensrückzahlung (in heimischer Währung)
fällig, die bei den momentanen Wechselkursen durch die erwartete
Zahlung gedeckt wäre.
Das kann sich aber schnell ändern (Wechselkursrisiko,): Um nicht in
Liquiditätsschwierig¬keiten zu kommen, ist der Produzent
interessiert, den zukünftigen Deviseneingang gegen die heimische
Währung kursmäßig abzusichern (zu hedgenj, also gewissermaßen den
der¬zeitigen Wechselkurs für die. zukünftige. Transaktion
"einzufrieren'.
Stellen wir wieder die Frage nach dem "richtigen Preis" von
Terminkontrakten: Die grund-sätzliche Überlegung dazu illustrieren
wir am Beispiel eines Devisentermingeschäftes. (Ter-mingeschäfte
beziehen sich allgemein auf Rohstoffe. Zinsen, etc.)
4.1.1 Devisentermingeschäft
Der Kontrakt bestehe darin, eine Fremdwährungsposition der Größe Ar
in T Jahren zu einem festgelegten Wechselkurs c (gegen Schilling) zu
verkaufen.
Die Bewertung des Geschäfts zum Zeitpunkt T der Fälligkeit ist sehr
einfach: Sei c(T) der dann gültige Wechselkurs (Kassakurs, Spot-Kurs).
Die Erfüllung des Vertrags (Bedienung des Kontrakts) gelingt durch
Kauf der Position N am Kassamarkt (Spot-Markt) zum dann gültigen
Kassakurs und sofortigen Weiterverkauf an den Vertragspartner zum
seinerzeit fixierten Terminkurs:
Wert bei Fälligkeit = cN - c(T)N.
(Es ist für die Bewertung unerheblich, ob der Kauf-Verkauf
tatsächlich in der beschrie¬benen Weise stattfindet — man muß die
Frage stellen: "Um welchen Preis würde ein Marktteilnehmer in den
Kontrakt einsteigen?" )
Wie ist der Wert zu einem beliebigen Zeitpunkt t vor der Fälligkeit?
Das No-Arbitrage-Prinzip hilft hier weiter: Sei W = log(l + r-1) die
Zinskurve in der Fremdwährung, Rd = log(l + rd) die Zinskurve im
Schilling (Heimatwährung, Domestic Currency) und c(t) der Wechselkurs
zum Zeitpunkt t.
Die Erfüllung des Vertrags kann garantiert werden durch sofortigen
Einkauf von Devisen (gegen ausgeliehene Schilling) und Veranlagung
entsprechend der fremden Zinskurve:
ATS Investition = c(t)Ne-Rf(T-l)(T-lK
Bis zum Zeitpunkt T wächst der eingekaufte Devisenbetrag gerade auf
die erforderliche Summe AT; entsprechend der heimischen Zinskurve
wächst aber auch die Rückzahlung für die Refinanzierung :
ATS Rückzahlung = c(t)Ne
23

Diese Rückzahlung müssen wir also von den Einnahmen cN abziehen, und
das Ergebnis auf den momentanen Zeitpunkt t abzinsen:
e-Ä«(T-i)(T-0 . ,y (c _
Den "Beweis" dafür, daß das wirklich der "richtige" Wert für das
Termingeschäft ist, liefert wieder das No-Arbitrage-Prinzip:
Angenommen, der Wert wäre größer — dann könnte ich den
Terminkontrakt verkaufen (d.h., die Verpflichtung eingehen, den
Devisenbetrag Ar zum Termin T mit Terminkurs c zu verkaufen - man sagt
auch "eine Short-Position eingehen") und mit einem Teil des Erlöses
zugleich die oben beschriebene Investition tätigen: Damit ist der
Vertrag bei Fälligkeit problemlos zu erfüllen, die Differenz könnte
ich risikolos und ohne Kapitaleinsatz einstreifen: Widerspruch!
Wäre umgekehrt der Wert kleiner, dann könnte ich die Gegenseite des
Geschäfts einnehmen (also Fremdwährung auf Termin kaufen) - man sagt
auch "eine Long-Position eingehen"). Fremdwährung sofort ausborgen und
in Schilling investieren (also die oben beschriebene Strategie genau
"umdrehen") und dadurch wieder einen risikolosen Gewinn lukrieren:
Wi-derspruch!
(Aus Symmetriegründen brauchte ich eigentlich nur den ersten Fall
betrachten: Für einen ausländischen Investor ist ja Schilling die
Fremdwährung . .. )
Der fixierte Terminkurs (Forward Price) ist prinzipiell natürlich frei
vereinbar; er wird aber in aller Regel so bestimmt, daß der Barwert
des Geschäfts zu Beginn der Laufzeit 0 ist. so-daß die
Geschäftspartner zu Beginn keine Zahlungen austauschen (das Geschäft
ist anfangs für beide "wertlos"; was sich aber schnell ändern kann).
Für unser Devisentermingeschäft müßten wir also Formel (7) gleich
Null setzen und nach c auflösen; das ergibt
Terminkurs c = c(<)e(Ä"(T-0
4.1.2 Zinstermingeschäft: Forward Rate Agreement (FRA)
So "exotisch" sind Termingeschäfte übrigens nicht: Wenn man es recht
betrachtet, hat man mit einer festverzinslichen Anleihe quasi "Zinsen
auf Termin gekauft".
Das führt sofort zum nächsten wichtigen Termingeschäft: Die
sogenannten Forward Rate Agreements (FRAs) sind Terminkontrakte, deren
Inhalt zukünftige Ausleihungen zu einem vorher festgelegten Zinssatz
sind.
Am einfachsten kann man sich das als Zero-Bond vorstellen, der auf
Termin verkauft wird: Sei N das Nominale, T der Termin, L die Laufzeit
des Zero-Bonds und R der fixierte Zins.
Der Wert des Kontrakts zu einem beliebigen Zeitpunkt t vor dem Termin T
ergibt sich wieder mit derselben Überlegung wie zuvor: Der Vertrag ist
problemlos zu erfüllen durch
24

einen heute gekauften Zero-Bond mit Laufzeit (T + L — £), der mit
Geld auf Laufzeit (T — t) refinanziert wird:
Investition = Ne
Diese Investition sichert die Bedienung des auf Termin verkauften
Bonds. Zum Zeitpunkt T bezahlt die Gegenpartei (Counterparty) das mit
fixem Zinssatz R abgezinste Nominale Ne~RL für den Bond: Dieser Betrag
muß entsprechend abgezinst werden: die Differenz ergibt den Barwert
des Kontrakts:
,y <e-RL-R(T-l)(T-l) _ e-R{T+L-t)(T+L-l)\
Auch hier wird der fixierte Zinssatz R (Forward Rate) in der Regel so
gewählt, daß der Barwert des Geschäfts zu Beginn t = 0 ist:
egi
F ,,, ß -R(T)T + R(T + L)(T
Forward Rate R = :—
Lj
Die sogenannte Forward-Zinskurve. (Forward- Yield-Curve) besteht aus
den eben berech¬neten Forward-Rates für eine fixe Laufzeit L in
Abhängigkeit von den verschiedenen Ter¬minen T und hat eine
interessante Interpretation: In einem gewissen Sinn beschreibt sie die
Markterwartung für zukünftige Zinssätze ("Wie werden die
3-Monatszinsen in einem Jahr sein? - Aus heutiger Sicht genau gleich
den entsprechenden Förward-Raten!")
4.1.2.1 Bewertung von SMR-Floatern Diese Sichtweise kommt bei der
Bewertung von SMR-Floatern (Constant-Maturity-Bonds) zur Anwendung, die
wir in Bemerkung 10 kurz erwähnt hatten: Bei solchen Produkten
erfolgen sozusagen "falsche" Zinszahlun¬gen e^'2^1, wobei in der Regel
t± < t-2 gilt. Hier geht man für die Bewertung von den Forward-Raten
für die jeweiligen Zinszahlungen Laufzeit aus (mit einer zusätzlichen
Fein-heit: "Convexity Adjustments", siehe [4, Abschnitt 16.11]).
4.1.3 Termingeschäfte allgemein
Allen Termingeschäften ist folgendes Bewertungsschema gemeinsam: Wenn
eine Sache 5 zum Termin T um den Preis P(T) verkauft werden soll, so
muß man den Preis P(0) der Sache heute kennen, den heutigen Zinssatz
R(T) für Laufzeit T, sowie allfällige Kosten C für die Lagerung.
Versicherung, etc., der Sache bis zum Termin. Dann ergibt sich der
Barwert des Geschäfts:
P(T)e-R{T)T - P(0) - C.
25

4.1.4 Futures
Für unsere theoretischen Zwecke (Bewertung. Risikomanagement) werden
wir zwischen Termingeschäften und Futures nicht unterscheiden:
Letztere sind standardisierte, börsege-handelte Terminkontrakte;
ähnlich wie Anleihen quasi standardisierte, handelbare Darle¬hen
sind.
Ein wichtiger praktischer Unterschied liegt darin, daß Gewinne und
Verluste aus Future-Positionen täglich realisiert werden: Die Börse
verlangt nämlich eine Margin (Einschuß) für Futures-Positionen. die
täglich entsprechend der Marktentwicklung angepaßt wird.
Das ist bei OTC-Termingeschäften anders: Hier wird man — wenn man
nicht aufpaßt — erst bei Fälligkeit vom wahren Ausmaß der
"Katastrophe" überrascht.
Bemerkung 13 Futures auf Underlyings. "die es gar nicht gibt".
Ihrem Wesen nach sind Termingeschäfte auf alle möglichen Underlyings
anwendbar, de¬nen ein wohlde.finie.rter Wert zuge.wiesen werden kann;
es ist nicht notwendig, daß das Underlying tatsächlich ge- und
verkauft werden kann!
Ein wichtiges Beispiel sind Index-Futures, deren Underlying ein
Aktienindex ist, also (im allgemeinen) ein gewichteter Durchschnitt von
Aktienkursen. Weil man einen Aktienindex nicht physisch liefern kann,
werden solche Kontrakte in Bargeld abgewickelt (Cash. Settle-menty),
d.h., es finden Zahlungen statt, die der Differenz zwischen dem
fixierten Indexniveau und dem tatsächlichen Indexniveau bei
Fälligkeit entsprechen.
Auch solche nach reinem Glückspiel aussehenden Konstruktionen haben
aber in der Regel einen wirtschaftlichen Hintergrund: So kann etwa der
Wert eines Portfolios aus österrei¬chischen Aktien "im Durchschnitt"
mit einem ATX-Future abgesichert (gehedgt) werden. Die Idee dabei ist.
daß die. Wertschwankungen des Portfolios Hn etwa'' gleich sind wie
die. Wertschwanklingen des Aktienindex.
4.2 Swaps
Swap bedeutet einfach Täusch: Tatsächlich findet aber in der Regel
kein Austausch von "wirklichen Dingen" statt, sondern es werden die
einem solchen Tausch entsprechenden wirtschaftlichen Auswirkungen (im
wesentlichen Zahlungen) nachgebildet. Der Swap ist dann der Vertrag,
der die entsprechenden Details enthält.
4.2.1 Zinsswaps und Cross Currency Swaps
Die wichtigsten Beispiele sind der Interest Rate Swap (IRS, Zinsswap)
und der Cross Currency Siuap (CCS).
26

Dabei wird der Täusch zweier "synthetischer Bonds" vereinbart (das
heißt, daß es die Anleihen, um die es hier geht, nicht "wirklich" in
Form von handelbaren Papieren geben muß: Die Anleihen können "frei
konstruiert" werden).
Im einfachsten Falle (Piain Vanilla) eines IRS wird ein Fixed Bond
gegen einen Floating Bond "getauscht" (man spricht daher auch vom Fixed
Leg bzw. Floating Leg des Swap), wobei die Zahlungstermine
Floating/Fixed in der Regel übereinstimmen.
Präziser: Es werden nur die entsprechenden Zahlungen getauscht; aber
das ist in wirtschaft-licher Hinsicht eben völlig gleichwertig mit dem
Austausch " wirklicher" Bonds, sodaß die Bewertung auf die
Bondbewertung zurückgeführt werden kann. Betrachten wir den Fall aus
der Sicht des Floating-Payers = Fixed-Receivers:
Wert IRS = Wert Fixed Leg - Wert Floating Leg.
Ebenso einfach ist die Bewertung eines CCS, wo ein Bond in
Fremdwährung gegen einen Bond in Schilling getauscht wird:
Wert CCS = s ■ Wert Foreign Bond - Wert Schilling Bond. (Hier ist s
der aktuelle Wechselkurs.)
Bemerkung 14 Es gibt aber auch andere Swaps: Bei einem
Credit-Default-Swap wer¬den Zahlungen aus einer riskanten Ausleihung
getauscht gegen Zahlungen aus einer ver-gleichweise sicheren
Ausleihung: abstrakt gesehen werden Bonds mit verschiedenem
Bo-nitästrisiko "getauscht". (Natürlich ist für diese Form der
"Kreditversicherung'' eine Ri-sikoprämie fällig.)
4.3 Optionen
Während bei einem Termingeschäft beide Vertragspartner gleichermaßen
Rechte und Pflich¬ten haben und demselben Kursrisiko ausgesetzt sind,
ist das Risiko bei Optionen asym¬metrisch verteilt: Der Käufer der
Option erwirbt eine Art "Versicherung" , die ihn zu nichts weiter
verpflichtet als zur Bezahlung der Prämie; während der Verkäufer ein
(möglicherweise unbegrenztes) Verlustrisiko trägt.
4.3.1 Europäische Optionen
Die einfachsten Beispiele sind Europäische Optionen:
Bei einer Call-Option erwirbt der Käufer das Recht (nicht aber die
Pflicht!), zu einem festen Zeitpunkt T (Fälligkeit oder Expiry) in der
Zukunft ein Underlying (Aktien, Rohstoffe. Bonds, Indices, etc.) zu
einem festgesetzten Strike-Preis zu kaufen: Dieses Recht wird
klarerweise nur dann ausgeübt werden, wenn der tatsächliche Preis des
Underlying bei

Payoff
10

165

170

175

180

Preis

-2
Abbildung 5: Fayoff-Funktion einer Call-Option


180
Preis

Abbildung 6: Fayoff-Funktion einer Fut-Option
Fälligkeit größer ist als der Strike-Freis; die Payoff-Funktion
(Auszahlungsfunktion) in Abhängigkeit vom tatsächlichen Freis am
Fälligkeitstag ist also gegeben als
Call-Payoff = max(0, Freis bei Fälligkeit — Strike-Freis). Siehe
dazu Abbildung 5.
Bei einer Put-Option erwirbt der Käufer das Recht (nicht aber die
Pflicht!), zu einem festen Zeitpunkt T in der Zukunft ein Underlying
(Aktien, Rohstoffe. Bonds, Indices, etc.) zu einem festgesetzten
Strike-Freis zu verkaufen:
Fut-Fayoff = max(0, Strike-Freis — Freis bei Fälligkeit). Siehe dazu
Abbildung 6.
28

4.3.2 Amerikanische Optionen
Amerikanische Optionen sind europäischen ähnlich: Das Recht kann
hier aber jederzeit während der Laufzeit ausgeübt werden; nicht erst
am Ende.
4.3.3 Bewertung von Optionen
Die Frage der Bewertung ist bei Optionen wesentlich diffiziler als bei
den bisher betrachte¬ten Produkten: Akzeptieren wir vorerst den
Grundsatz, daß der Fair Value {theoretischer Wert) einer Option gleich
dem Barwert der erwarteten Auszahlung ist {risikoneutrale.
Be¬wertung).
Diesen Grundsatz kann man natürlich nicht "formal beweisen": im Rahmen
einer kurzen Skizze von "Risikotheorie" werden wir ihn aber später
etwas plausibler machen.
Das genügt aber noch nicht für eine konkrete Bewertung: Um den
Erwartungswert der Aus-zahlung tatsächlich bestimmen zu können,
müßten wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Preise zum
Fälliffkeitsdatum kennen.
'■£>'■
Dies kann nur bedeuten, daß wir ein plausibles Modell des
stochastischen Verhaltens der Preise aufstellen, die benötigten
Parameter aus empirischen Beobachtungen schätzen und das so erhaltene
bestimmte Integral (also den entsprechenden Erwartungswert) berechnen.
Diese Aufgabe kann recht komplex werden; beschränken wir uns hier auf
den "relativ einfachen" Fall einer Europäischen Indexoption.
4.3.3.1 Geometrische Brownsche Bewegung Das meistverwendete Modell für
den Zufallsprozeß, dem der Preis S des Underlying folgt, ist die
Geometrische. Brownsche Be-wegung:
dS = fi S dt + aS dz. (8)
wobei z ein Wiener-Prozeß ist (d.h., dz ist eine normalverteilte
Zufallsvariable mit Mit¬telwert 0 und Standardabweichung ydt. In
diesem Zusammenhang wird die Standardab¬weichung a als Volatilität
bezeichnet.
Über die Feinheiten der stochastischen Differentialrechnung schwindeln
wir uns hier hin¬weg: Für unsere Zwecke genügt, daß aus dieser
Annahme folgt, daß die Werte zu einem zukünftigen Zeitpunkt T eine
logarithmische Normalverteilung mit Mittelwert log(S') —
ifi — ^jT und Standardabweichung a\/T haben (anders gesagt: Die
Logarithmen der zukünftigen Preise S(T) sind normalverteilt).
Dies würde für die Berechnung des bestimmten Integrals schon
genügen: Wir müssen ja
29

■'nur" die Dichte
T(ß-c2/2)2
e




y2i\TS(J
mit der Payoff-Function multiplizieren, integrieren und das Resultat
noch mit dem richti¬gen Diskontierungsfaktor abzinsen — schon haben
wir den theoretischen Wert der Option.

4.3.3.2 Die Black-Merton-Scholes-Formel Machen wir noch zwei
vereinfachende Annahmen:
• Die Zinskurve ist flach: d.h. R(t) = i?(konstant).
• Der Drift /i des Prozesses stimmt mit R überein.
Dann erhalten wir die berühmte Black-S'choles-Formel, für die 1998
der Ökonomie-Nobel¬preis vergeben wurde. Wir schreiben sie so hin,
wie man sie zumeist in Lehrbüchern (siehe etwa [4. Abschnitt 11.7])
findet (Sei S der momentane Kurs. X der Strike-Preis, T die Laufzeit
bis Expiry, R der Zinssatz und o die Volatilität):

(R + <J2/2)T

o\JT d-2 = d{ — o~vT.
Dann erhalten wir für europäische Call-Optionen folgenden
theoretischen Wert:
2 2
I ' e 2 T I i e 2
Und für europäische Put-Optionen:


ex dx s &x.
J-oo v2?r J-CC V2TT
Bekanntlich gibt es für die Fehlerfunktion (die Verteilungsfunktion
der Normalverteilung) sehr gute numerische Verfahren, die in vielen
Programmen schon eingebaut sind: Es ist also in der Praxis nicht
schwer, die obigen theoretischen Werte am Computer zu berechnen. (Für
Aktienoptionen ergeben sich hier übrigens kleine Modifikationen wegen
der erwarteten Dividendenzahlungen.)
Hier hatten wir also "Glück": Das Integral läßt sich tatsächlich
berechnen (oder zumindest auf bekannte Funktionen zurückführen). Im
allgemeinen (insbesondere bei sogenannten Exotischen Optionen) hat man
nicht immer eine solche geschlossene Lösung; dann muß man für die
Bewertung numerische Verfahren heranziehen.
30


30
20
Optionswert 40
180 190 200 210 220 230

Kurs S

Abbildung 7: Call: A' = 200, T = 0.5, R = 0.04, o = 0.15
4.3.3.3 Nichtlineare Risken Der theoretische Wert einer Optionen ist
eine nichtli-neare Funktion in den zugrundeliegenden Parametern, man
spricht auch von nichtlinearem Risiko (im Gegensatz etwa zu dem Wert
eines Aktienportfolios, dessen Wert natürlich linear von den
Aktienpreisen abhängt).
Abbildung 7 verdeutlicht das graphisch.
Man sieht: Eine Out-of-the-Money Call-Option (d.h., momentaner Kurs
kleiner als Strike) ist relativ wenig wert: eine In-the-Money
Call-Option (d.h., momentaner Kurs größer als Strike) relativ viel.
4.3.3.4 Die "griechischen Variablen" Gewisse Ableitungendes
(theoretischen) Wer¬tes einer Option werden mit griechischen
Buchstaben bezeichnet.
Mit Delta wird die erste Ableitung nach dem Preis des Underlying
bezeichnet: Sie ist von besonderer Bedeutung, weil damit in erster
Näherung eine Option als lineare Funktion im Preis des Underlying
dargestellt werden kann (so wie eine Position im Underlying selbst):
Man spricht daher auch von einer Umrechnung in eine delta-äquivalente
Position.
Für europäische Optionen haben wir einen geschlossenen Ausdruck,
sodaß wir die Ableitung bestimmen können:
A(Call) = / —=dx.
(Denn die beim Ableiten auftretenden weiteren Terme summieren sich auf
Null.) Mit Gamma wird die zweite Ableitung nach dem Preis des
Underlying bezeichnet:
31


r(Caii) = e


'2-KTSa
(Hier steckt die innere Ableitung
dch _ 1 ~ÖS~ Ss/Ta
drinnen.)
Die anderen "Griechen" schreiben wir nicht mehr explizit auf: Mit Rho
wird die erste Ableitung nach dem Zinssatz R bezeichnet, mit Theta die
erste Ableitung nach der Zeit T und mit Vega (kein griechischer
Buchstabe!) die Ableitung nach der Volatilität.
4.3.4 Weitere Optionen
Neben den "einfachen" europäischen oder amerikanischen Call- oder
Put-Optionen gibt es noch eine Fülle von sogenannten Exotischen
Optionen; zum Beispiel:
Asian Option: Payoff abhängig vom Durchschnittspreis über eine
gewisse Zeitperiode,
Barrier Option: Payoff abhängig davon, ob Preise in einer gewissen
Zeitperiode eine bestimmte Schranke erreichen.
Bermudan Option: eine Art amerikanische Option, wo die Ausübung aber
nur zu be¬stimmten Terminen möglich ist,
Chooser Option: eine Option, bei der man im nachhinein wählen kann, ob
sie ein Call oder Put ist.
Nicht für alle diese Produkte gibt es geschlossene Formeln: Bei der
Bewertung setzt man dann numerische Verfahren ein (z.B.
Monte-Carlo-Simulation). ebenso bei der Berechnung der "Griechen".
Dies trifft insbesondere auf pfadabhängige Optionen zu, wo der Payoff
von Ereignissen während der Laufzeit abhängt (also vom "Pfad der
Kursentwicklung "), und auf Zinsoptio¬nen, bei denen schon die
adäquate Modellierung des mehrdimensionalen Risikoparameters
"Zinskurve" schwieriger ist.
Eine Swaption ist schlicht eine Option auf einen Swap.
32

5 Risiko: Theorie und Praxis
Was versteht man eigentlich unter Risiko? Wenn wir vom normalen
Sprachgebrauch aus¬gehen, dann bezeichnet man eine Unternehmung dann
als riskant, wenn sie zwar die Gefahr eines negativen Ausgangs birgt,
aber dennoch sehr wohl auch gutgehen könnten: Eine Sa¬che, deren
Ausgang mit absoluter Sicherheit (unerachtet ob gut oder schlecht)
feststeht, wird nicht als riskant angesehen.
Dabei verwendet man Risiko meist nur in dem Sinne, daß ein Nachteil
eintreten kann: Der "duale" Begriff wäre Chance, also die
Möglichkeit, daß ein Vorteil eintritt: Abstrakt gesehen sind das aber
einfach die beiden Seiten derselben Medaille "Unsicherheit".
Mathematisch ausgedrückt, geht es also um Wahrscheinlichkeitstheorie
oder Statistik: Sie liefern hier die geeigneten Begriffe und Methoden.
Für unsere Zwecke können wir die Sache noch weiter eingrenzen: Als
Auswirkungen ris¬kanter Tätigkeiten könnte man im allgemeinen man ja
auch Unfälle oder Krankheiten etc. ansehen — im finanzmathematischen
Zusammenhang geht es aber immer (nur) um finan¬zielle Gewinne und
Verluste. Wenn also zum Beispiel das Zinsänderungsrisiko, das wir bei
den Anleihepreisen schon erwähnt hatten, zu einem Preisverfall der
Anleihen führt, so in¬teressiert uns hier nur der dadurch entstandene
Verlust und nicht allfällige Folgewirkungen oder Nebeneffekte.
Risikofreihe.it wäre das völlige Fehlen jeder Möglichkeit für
Gewinne und Verluste: Das ist praktisch unmöglich.
Sehr wohl ist es aber möglich, finanzielle Risken zu "verkaufen"
(versichern): Dies ist das Wesen des Versicherungsgeschäfts. Im
Finanzwesen spielen die Derivate (Termingeschäfte und Optionen, neben
"konventionellen" Bankgeschäften wie Haftungsübernahmen, Garan¬tien,
etc.) die Rolle solcher Versicherungen: Genau damit beschäftigen wir
uns hier.
5.1 Risikofaktoren
Die Einengung unseres Risikobegriffes hat eine einfache Konsequenz: Von
den tatsächlichen Ursachen der Gewinne und Verluste können wir in
einem gewissen Sinn abstrahieren — sie erscheinen nur mehr als
Risikofaktoren, die das stochastische Verhalten der einzigen Variable
beeinflussen, die uns interessiert: Den Wert des Portfolios.
Die Ursachen (Risikofaktoren) für einen finanziellen Verlust sind
vielfältig; man unterschei¬det hier z.B.:
• Marktrisiko: Der Marktpreis von Gütern und Finanzinstrumenten
schwankt und kann den Wert einer Position daher auch negativ
beeinflussen. Innerhalb des Mark-trisikos unterscheidet man noch
- Zinsänderungsrisiko
33

— Wechselkursrisiko
- Aktienkursrisiko
• Kreditrisiko: Schuldner können ausfallen oder auch nur eine
Bonitätsverschlechterung
aufweisen und dadurch einen Verlust verursachen.
• Betriebsrisiko: Fehler und "menschliches Versagen" bei der
Geschäftsabwicklung
können Verluste verursachen.
• Liquiditätsrisiko: Mangelnde Liquidität (also die Unmöglichkeit,
eine Position rasch
zu ändern oder Geld aufzunehmen) kann zu Verlusten führen.
• Rechtsrisiko: Fehleinschätzungen der rechtlichen Lage (bzw. eine
unsichere Rechts¬
lage) können Verluste verursachen.
5.1.1 Allgemeine Aufgabe Risikomessung
Aus dem bisher Gesagten können wir eine sehr allgemeine zweistufige
Grundaufgabe ab¬leiten:
1. Modellierung des stochastischen Verhaltens der Risikofaktoren.
2. Beschreibung der Auswirkungen der Risikofaktoren auf den
Portfoliowert.
Hier beschäftigen wir uns nur mit Marktrisiko und Kreditrisiko: Die
eben geschilderte "Grundaufgabe" wollen wir mit einem ganz schlichten
Beispiel zum Thema Marktrisiko illustrieren.

Beispiel 4 Schritt 1: Stochastisches Verhalten
Es gebe zwei Güter A und B mit Preisen P\ und Pß- Die
Preisänderungen APA = (Py^morgeri) — PA(heute)) und APß =
(PB{fnorgen) — Pß (heute)) von heute, auf morgen sind die relevanten
Risikofaktoren: Wir nehmen an. sie haben eine gemeinsame
Normal¬verteilung mit Mittelwert (0,0) und Kovarianzmatrix
2 -1 -1 1
Um das graphisch anschaulich zu machen, führen wir die
Cholesky-Zerlegung dieser Matrix durch:

2 -1 -1 1
34


DPA

Abbildung 8: Zufallszahlen APA, APB
Damit erzeugen wir auf dem Computer Zufallszahlen, die dieser
Verteilung gehorchen, und stellen diese Zahlen graphisch dar. siehe
Abbbildung 8. Deutlich erkennbar ist die negative Korrelation.
Beispiel, Schritt 2: Portfoliobewertung
Das eben modellierte Auf und Ab von Güterpreisen verursacht für sich
allein keine Gewinne oder Verluste: Erst wenn wir ein Portfolio
betrachten, das die Güter A oder B beinhaltet, tritt ein finanzielles
Risiko auf.
Nehmen wir also an. unser Portfolio umfaßt 600 Einheiten von Gut A und
400 Einheiten von Gut B: Der Portfoliowert ist dann schlicht
Die Bewertung des Portfolios bildet die mehrdimensionale (multivariate)
Zufallsvariable (APA,APB) ab auf eine eindimensionale Zufallsvariable,
nämlich Gewinne und Verluste. Deren "empirische'' (Computersimulierte)
Verteilung können wir uns nun ansehen (siehe Abbildung 9):
Nun nehmen wir an, daß unser Portfolio aus 2 merkwürdigen Optionen
auf die Güter A (long) und B (short) besteht, deren Wertänderung
quadratisch von der Preisänderung des jeweiligen underlying abhängt:
600AP| + 400 APf.
Die "empirische" Verteilung können wir uns wieder ansehen (siehe
Abbildung 10):
35

Wahrscheinlichkeit
1 ^ .
0 8
0 6
Ä
2
-2000 -1000 1000

GuV

Abbildung 9: Gewinne/Verluste

Wahrscheinlichkeit
1
0 8
0 6 /
0 4
0

-2000-1000

1000 2000 3000 4000

GuV

Abbildung 10: Gewinne/Verluste
36

Mit einem Blick erkennt man, daß die beiden Portfolios ein recht
unterschiedliches Ri¬sikoprofil haben: Unter Risikomanagement versteht
man — abstrakt betrachtet — die. Überwachung und "Gestaltung''
solcher Risikoprofile: zu genau diesem- Zweck sind u.a. Derivate
erfunden worden, sowohl im Marktrisiko- wie im Kreditrisikobereich.
5.2 Risikomaße
Den Begriff Risiko bzw. Risikoprofil haben wir eben mit dem
statistischen Begriff Verteilung in Zusammenhang gebracht. Für
praktische Zwecke wünscht man sich aber eine einfache Kennzahl, mit
der Risiko quantifiziert werden kann: Es ist also kein Wunder, daß man
in diesem Zusammenhang die einfachen Kennzahlen statistischer
Verteilungen verwendet.

5.2.1 Er wart ungs wert
Der Erwartungswert wird in vielen Fällen zur Preisfindung für Risken
herangezogen — auch bei der Bewertung von Optionen sind wir davon
ausgegangen (risikoneutrale Bewertung!), obwohl er als "Meßgröße"
überhaupt nicht zwischen Zufallsvariable unterscheidet, die
"in¬tuitiv" ein sehr unterschiedliches Risikoprofil bedeuten. Das ist
immer dann (halbwegs) vertretbar, wenn man sich auf das Gesetz der
großen Zahlen verlassen kann.
Beispiel 5 Als kleines Beispiel sehen wir uns einmal an, wie der
Anspruch auf eine Al-terspension versicherungsmathematisch berechnet
wird (in groben Zügen): Dazu werden statistische Daten (Sterbetafeln^
verwendet, die. die (empirisch beobachtete) Wahrschein¬lichkeit
angeben, daß eine. Person genau im x-ten Lebensjahr stirbt. Zum
Beispiel waren diese Wahrscheinlichkeiten für Frauen zwischen 55 und
106:
p55 = 0.002489, p,56 = 0.002713, p57 = 0.002947, p58 = 0.003208, pio.3
= 0.414329, pi04 = 0.433264, p105 = 0.45294, p106 = 1.0
Unter der Ausscheideordnung versteht man dann das Aussterben eines
Kollektivs im- Zeita¬blauf:
Kollektiv^ = 1000000, Kollektiv, = Kollektiv, _i{l — px-i),
siehe Abbildung 11.
Der (v er Sicherung smathematis ehe) Barwert einer jährlichen Pension
von 100000 für eine 55-jährige Pensionistin ist dann der
Erwartungswert der mit einem konstanten Rechnungs-zinsfuß abgezinsten
Zahlungen; also z.B. für RechnungsZinsfuß 6%:
A(. 1000000 (1 +0.06p-55
x—oo


Kollektiv, 1000000

Personenzahl
1-106
800000 600000 400000 200000

10 20 30 40 50

Zeit

Abbildung 11: Ausscheideordnung 55-jähriger Frauen
Eine Pensionskasse verläßt sich tatsächlich darauf, daß sie — in
unserem Beispiel — die. zugesagte. Pension im Durchschnitt nur etwa
1^. Jahre, lang zahlen muß.
Dieses Beispiel enthält bereits eine ganz einfache Grundidee, die man
auch für Kreditri-sikoschätzung verwenden kann: Dazu brauchen wir ja
nur die Sterbewahrscheinlichkeiten als Ausfallswahrscheinlichkeiten
umdeuten!
5.2.2 Varianz bzw. Standardabweichung
Die Varianz a2 ist eine statistische Kenngröße: Sie gibt bekanntlich
die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert an:
a2 = E{X - E{X)f. Die Standardabweichung o ist die Quadratwurzel aus
der Varianz.
Es ist anschaulich klar, daß die Varianz bzw. Standardabweichung
erheblich mehr über den "Risikograd" aussagt als der Erwartungswert;
siehe etwa Abbildungl2.
Die Standardabweichung wird tatsächlich häufig als Maß für Risiko
verwendet; sie ist für praktische Zwecke auch relativ einfach zu
schätzen.
5.2.3 Value at Risk
In der Praxis interessieren wir uns "nur" für das (Verlust-)Risiko
eines Portfolios, also für die Gefahr, mit einer Investition in
verschiedene Finanzinstrumente schlecht abzuschneiden wegen "adverser
Kursentwicklungen" (Marktrisiko): Die Varianz hingegen mißt Chancen
wie Risken in gleicher Weise: insbesondere für asymmetrische
Verteilungen erscheint sie daher als Risikomaß nicht ideal.
38

20
22
24
4 -

Abbildung 12: Normalverteilung: er = 0.1, 0.5, 1, 2
Wenn man an allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilungen denkt, dann ist
folgender Begriff sehr naheliegend: Wir wählen ein Konfidenznive.au,
also eine (meistens hohe) Wahrschein-lichkeit und betrachten jenen
Verlust Q, der mit dieser Wahrscheinlichkeit nicht übertroffen wird;
formal:

p (Verlust > — Q) = Konfidenzniveau.

(9)

Diese Quantile (oder Perzentile.) a der Statistik werden in diesem
Zusammenhang als Value-at-Risk bezeichnet: Dieser sehr einfache Begriff
spielt in der Praxis eine große Rolle.
Die tatsächliche Berechnung dieser Zahl kann recht aufwendig sein:
Für lineare Risken, deren Risikofaktoren normalverteilt sind, ist die
Berechnung im wesentlichen äquivalent mit der Varianzschätzung; im
allgemeinen muß man aber zu numerischen Verfahren greifen
(Monte-Carlo-Simulation, historische Simulation).
5.2.3.1 Zusammenhang Varianz/Value-at-Risk In finanzwirtschaftlichen
Lehr-büchern findet man Value-at-Risk manchmal definiert als
"Konstante mal Standardab-weichung" : Dies kommt daher, daß man den
Value-at-Risk für normalv erteilte Werte tatsächlich einfach mit der
Standardabweichung ausdrücken kann; z.B. ist ja für eine
normalverteilte Zufallsvariable N[^,a) die Wahrscheinlichkeit, daß ein
Wert unterhalb {ß — 2.33a) angenommen wird, gerade



--2.33

'27T J-o,

= 0.00990308,

also etwa 1%. (Diese Quantile oder Perzentile der Normalverteilung sind
in Tabellen in Statistik-Lehrbüchern enthalten.)
Anders ausgedrückt: Wenn die Wertänderung normal verteilt ist mit
Mittelwert /u- und Standardabweichung er, dann ist der Value-at-Risk
zum Konfidenzniveau 99% (ungefähr) (ß- 2.33a).
39

5.2.4 Konkrete Berechnung des Value atRisk
Wie schon bei der Optionsbewertung (Fair Value = erwarteter Payoff)
haben wir zunächst ein allgemeines "Rezept" angegeben
(Value-at-Risk=Quantil der Wertverteilung), das erst durch geeignete
Annahmen quasi konkretisiert werden muß: Die "Verteilung des
zukünftigen Portfoliowertes" ist ja zunächst natürlich nicht
bekannt, sie muß durch plau¬sible Verfahren "geschätzt" werden.
Zunächst könnte man auf die Idee kommen, direkt eine Zeitreihe
vergangener Portfoliowerte zu untersuchen und daraus gewisse Schlüsse
zu ziehen: Das ist aber nicht praktikabel, denn ein Portfolio wird ja
(in der Regel) laufend verändert, sodaß eine hinreichend weit
zurückreichende Zeitreihe für solche "direkten" Schätzungen nicht
zur Verfügung steht.
Anders ist die Situation hingegen bei den Risikofaktoren (Preisen und
Kursen): Hier gibt es (meistens) lange Zeitreihen, aus denen man
Mittelwerte. Standardabweichungen, etc. empirisch schätzen kann. In
der Praxis finden wir also tatsächlich die "Allgemeine Aufgabe der
Risikomessung" in der Weise vor, wie wir sie in Abschnitt 5.1.1
beschrieben hatten:
Gegeben (bzw. angenommen) sei eine (mehr oder weniger gut bekannte)
gemeinsame Verteilung F(x\_,X2, ■ ■ • ) der für ein Portfolio
relevanten Risikofaktoren x\_,X2: ■ ■ ■ (Akti¬enkurse, Zinsen,
Wechselkurse, etc.). Jeder Realisierung von Risikofaktoren entspricht
ein Portfoliowert V(xi, x%,...). Als einheitliches Maß für Risiko
verwenden wir ein Quantil (zu einem vorgewählten Konfidenzniveau) der
Verteilung der (eindimensionalen!) Zufalls¬variable V = V{xi,X2,
■■■)'■ Dieses Quantil wird als Value-at-Risk (zum vorgegebenen
Konfidenzniveau) bezeichnet.
Eine Sache ist in der Praxis noch zu beachten: Wir müssen auch einen
Zeithorizont für die Veränderungen des Portfoliowerts angeben! —
Klarerweise kann sich der Wert in einem Jahr stärker ändern als in
einem Tag. Dieser Zeithorizont wird in diesem Zusammenhang als
Haltedauer bezeichnet: Man geht nämlich davon aus. daß man Positionen
eine gewisse Zeitlang halten muß. ehe man sie vollständig auflösen
(glattstellen) kann, wenn der Markt sich negativ entwickelt.
Ein methodisch besonders einfaches Verfahren zur Berechnung ist die
5.2.4.1 Historische Simulation Alle Kenntnis über die "tatsächliche"
Verteilung von Risikofaktoren (Preisen und Kursen) kann ja nur aus
vergangenen Beobachtungen (Zeitrei¬hen) geschöpft werden:
Statt eines parametrischen Ansatzes wie beim Varianz-Kovarianz-Modell
(Annahme Nor-malverteilung mit unbekannten Parame.te.rn /i und o\
emprische Schätzung dieser Para¬meter) könnte man ja auch gleich die
historischen Zeitreihen selbst heranziehen und das aktuelle Portfolio
damit neu bewerten!
Beispiel 6 Wir "recyceln" nun die "pseudo-historischen" Daten, die
wir zuvor schon er¬zeugt haben, und nehmen an, diese Daten wären
historisch beobachtete Preisveränderungen
40

PX


200
190
180

20 40 60 80 100 120 140

Zeit

x
Abbildung 13: "historische Daten" P


20 40 60 80 100 12 0 140
Zeit

Abbildung 14: "historische Daten" Py
für zwei Rohstoffe X und Y in unserem Portfolio: d.h.: Die
tatsächlichen Preise zu einem Stichtag 0 waren Px(0) = 170.0 und Py(0)
= 260.0; sie entwickelten sich im- Zeitablauf gemäß Px(t + 1) = Px(t)
+ APA und. PY(t + 1) = Py(t) + APB: Die Abbildungen 13 und 14 zeigen
wieder die negative Korrelation, die wir unseren Zufallszahlen
aufgeprägt haben.
Berechnen wir nun die Wertveränderungen, die ein Rohstoffportfolio von
680 Einheiten X und 72 Einheiten Y in den letzten 1000 Tagen mitgemacht
hätte: Hier ist also die Funktion V(Px, Py), die den Wert des
Portfolios in Abhängigkeit von den Risikofaktoren Px und Py
(Pseudo-Rohstoff-Preise.) angibt, eine lineare Funktion: V(Px,Py) =
680Px + 72Py. Die Wertentwicklung des Portfolios zeigt Abbildung 15.
Wenn wir uns also für die Schwankungen im Wert von einer Woche auf die
nächste inter¬essieren (d.h., Haltedauer 7 Tage), dann müssen wir
die Differenzen Wert(t) — Wert(t — 7) befrachten: Abbildung 16
zeigt diese Änderungen.
41

VHPX,PYL

20 40 60 80 100 120 140

Zeit

Abbildung 15: "historische Daten" V(PX,PY)


Zeit

Abbildung 16: "historische Daten" L±V . Haltedauer
42


Zeit

Abbildung 17: "historische Daten" AV. Haltedauer 1
Das Quantil zum Konfidenzniveau 95% ist leicht zu bestimmen: Dazu
müssen wir nur die. erhaltenen Wertänderungen aufsteigend sortieren
und das "richtige" (in unserem Fall: das 50-te) Element bestimmen: in
unserem Beispiel ergibt sich —4145.94.
Um den Effekt der Haltedauer zu illustrieren: Wenn wir uns aber für
die Schwankungen im Wert von einem Tag auf den nächsten interessieren
(d.h., Haltedauer 1 Tag), dann müssen wir die Differenzen Wert{t) —
Wert{t — 1) betrachten: Abbildung 17 zeigt diese Änderungen.
Das Quantil zum Konfidenzniveau 95% fällt nun viel geringer aus:
—1473.28
5.2.4.2 Varianz-Kovarianz-Methode Wir können auch einen parametrischen
An¬satz verfolgen: D.h., wir nehmen an. daß die Risikoparameter eine
gemeinsame Normal¬verteilung haben, die ja durch die Parameter
Mittelwert und Kovarianz bestimmt ist, und schätzen dann diese
Parameter (Vektor der Mittelwerte und Kovarianzmatrix) aus
histo¬rischen Daten.
Nehmen wir weiters an, daß der Portfoliowert eine lineare Funktion der
zugrundeliegenden Risikofaktoren pi,p2, • • • ->pn ist: Yl'i=i_Pi
' -^«- (Dies ist z.B. dann der Fall, wenn die Ri-sikofaktoren
Rohstoffpreise sind, und das Portfolio nur Kassa-Positionen der Größe
X± in diesen Rohstoffen enthält — also keine Optionen!)
Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß die Mittelwerte der
Preisänderungen alle Null sind: Dann ist die Portfoliowert-Anderung
als Linearkombination normalverteilter Zu¬fallsvariablen selbst wieder
normalverteilt mit Mittelwert 0, und die Varianz kann unter Verwendung
der Kovarianzen a,jj leicht berechnet werden:

o1 =

(10)

43

Der Value-at-Risk zum Konfidenzniveau 1% wäre dann also einfach 2.33a.
Diese häufig anzutreffende Formel ist aber nur unter den genannten
einschränkenden An-nahmen wirklich richtig. Bei sogenannten
nichtline.are.7i Risken (z.B. Optionen) macht man häufig
"Gamma-Adjustments", um die Sache zu reparieren: d.h.. man entwickelt
die Optionspreisfunktion unter Verwendung der ersten (Umrechnung in die
delta-äquivalente Position) und zweiten Ableitung (Gamma) in eine
quadratische Näherungsformel (man spricht hier auch von der "
Delta-Gamma-Methode") und kommt so zu einer etwas kom¬plizierteren
Formel für die Varianz (unter Verwendung der wohlbekannten Momente der
Normalverteilung).
Etwas schwieriger wird die Angelegenheit, wenn man die Logarithmen der
Preise als nor-malverteilte Risikofaktoren annimmt: Dann sind
natürlich auch schon die Werte einfacher Kassapositionen nichtlineare
Funktionen in diesen Risikofaktoren. (Die logarithmische
Nor-malverteilung ist u.a. auch deshalb so "beliebt", weil dabei keine
negativen Preise möglich sind: was mit den empirischen Beobachtungen
übereinstimmt.)
Trotz dieser Schwierigkeiten ist die Varianz-Kovarianz-Methode recht
häufig: Die Berech¬nung der Varianz einer Linearkombination von (im
allgemeinen) quadratischen Funktionen von normalverteilten
Zufallsvariablen wird dann argumentativ kombiniert mit dem Zentra¬len
Grenzwertsatz, also mit der Annahme, daß der Portfoliowert
asymptotisch normalver¬teilt ist (siehe etwa [7, Satz 39.2]), womit
die Gleichsetzung "Value-at-Risk = Konstante mal Standardabweichung"
(in einem gewissen Sinn) gerechtfertigt ist.
5.2.4.3 Risikominderung durch Diversifikation Ein Aspekt der Formel
(10) für die Varianzberechnung spielt in der Praxis eine große Rolle:
Wie man leicht sieht, werden Investitionen in unkorrelierte oder
negativ korrelierte Instrumente die Varianz (und damit "im
wesentlichen" das Risiko) des Portfolios vermindern.
Man nennt das Diversifikation (Investition in "diverse" Instrumente):
Dieser ganz einfache Gedanken spielt in der Praxis tatsächlich eine
große Rolle.
Beispiel 7 Angenommen, wir können einen Gesamtbetrag N investieren:
Dazu stehen uns zwei Investitionsmöglichkeiten A und B zur Verfügung,
deren Wertänderungen identisch und unabhängig normalverteilt (also
unkorreliert) sind mit Mittelwert ß und Standardab¬weichung a.
Wenn wir alles in A investieren, ist die Wertänderung unseres
Portfolios wieder normal-verteilt mit Standardabweichung (Risiko) N ■
o~.
Teilen wir unser Investment hingegen auf A und B gleichmäßig auf. so
ist die Wertänderung des neuen Portfolios wieder normalverteilt —
die Standardabweichung ist nun aber (Kor¬relation Null laut Annahme!):





N ■ a

44

Diversifikation hat also das Risiko vermindert.
5.2.4.4 Monte-Carlo-Simulation Monte-Carlo-Simulation kann man
sozusagen als Mischung von Varianz-Kovarianz-Methode und historischer
Simulation betrachten:
Zunächst werden wieder Mittelwerte und Kovarianzen aus historischen
Daten geschätzt.
Dann werden mit Zufallszahlen-Generatoren künstliche Daten mit den
gewünschten Ver-teilungseigenschaften erzeugt (genauso wie wir das
zuvor ja auch bei unserem Beispiel zur historischen Simulation gemacht
haben).
Zum Schluß wird wieder das gewünschte Quantil ermittelt (wie bei der
historischen Simu-lation) .
5.2.4.5 Quasi-Monte-Carlo-Methoden Die Erzeugung von "guten"
Zufallszahlen ist ein auch theoretisch interessantes Gebiet: Hier gibt
es neuere Forschungen, die auch schon ihren Weg in nnanzmathematische
Anwendungen gefunden haben: Man bezeichnet diese Verfahren als
Quasi-Monte-Carlo-Methoden.
5.2.4.6 Praktische Probleme Die grundlegenden Konzepte sind, wie man
sieht, ma¬thematisch sehr einfach: Man darf aber nicht verschweigen,
daß in der Praxis mannigfache Probleme (nichtmathematischer Art)
auftreten: Schon das Schätzen der Parameter kann sich als sehr
schwierig erweisen, wenn die zur Verfügung stehenden Zeitreihen von
man¬gelnder Qualität sind (falsche Daten, fehlende Daten). Oft gibt
es auch EDV-bedingte Schwierigkeiten bei der Portfolioerfassung.
6 Technische Analyse
Technische Analyse ist ein UberbegrifF, der sehr unterschiedliche
Methoden und Ansätze für ein Investieren nach festgelegten Regeln
umfaßt, die einzig auf dem Verlauf der Preiszeitrei¬hen (Charts) der
interessierenden Investitionsmöglichkeiten (Aktien, Rohstoffe,
Derivate) beruhen: Man spricht daher auch von Chartanalyse.
"Festgelegte Regeln" soll hier bedeuten: Die Verfahren, die verwendet
werden, sind for-malisiert (algorithmisch), sodaß sie in einem
Computerprogramm implementiert werden können: Man spricht daher auch
von computerunterstütztem Handel.
Die Grundidee ist sehr einfach (und sehr verlockend, daher das große
Interesse an diesem Gebiet): Man wünscht sich ein Verfahren, das als
Input gewisse Zeitreihen (Marktpreise, Zinsinformationen) akzeptiert
und als Output Kaufs- und Verkaufssignale für gewisse
Fi-nanzinstrumente erzeugt, die — zumindest im Durchschnitt — "gute
Investmententschei-dungen" sind, also Gewinne bringen.
45




Kauf /Verkauf
Charts \^ (Zeitreihen) Ch

Black Box

Abbildung 18: Technische Analyse — Black Box
Wenn wir zunächst nichts über dieses "signalerzeugende Verfahren"
wissen, können wir uns das als Black Box vorstellen entsprechend
Abbildung 18.
Im folgenden betrachten wir ein paar ausgewählte Beispiele für
derartige Verfahren: Tat-sächlich gibt es dutzende, wenn nicht
hunderte verschiedene Ansätze, die mehr oder weniger plausibel
aussehen (manche davon allerdings etwas obskur), und die von
Marktteilnehmern ausprobiert werden.
6.1 Moving Averages — Gleitende Durchschnitte
Sei (pi)i>i eine Zeitreihe (Folge reeller Zahlen; der laufende Index t
wird als Zeit — meist in Tagen — interpretiert). Ein Gleitender
Durchschnitt (Moving Average) der Länge n ist der Mittelwert von n
aufeinanderfolgenden Gliedern pt-n+LiPi-n+2; ■ ■ ■ ,Pi- WTir
können also die Zeitreihe der gleitenden Durchschnitte
MA(n,p) :=

betrachten.
Mehrere simple Verfahren der technischen Analyse basieren auf
gleitenden Durchschnitten.
6.1.1 MACD
Wir betrachten eine Zeitreihe von täglichen Preisdaten. Der "Moving
Average Diver-gence Convergence""-Indikator (MACD) einer Folge
(Zeitreihe) p ist einfach die Differenz MA(26,p) - MA(12,p); also die
Folge



26

O26

12

O26

Dazu betrachtet man noch einen gleitenden Durchschnitt MA(9,p) als
"Signallinie". Die Regel für Kauf bzw. Verkauf lautet dann:
• Kauf, wenn der MACD über die Signallinie steigt.
46

• Verkauf, wenn der MACD unter die Signallinie fällt.
6.1.2 Bollinger Bänder
Darunter versteht man wieder einen gleitenden Durchschnitt, um den
herum ein "Band" abhängig von der momentanen Volatilität gelegt wird.
Sei also wieder (pi)t>i eine Folge re¬eller Zahlen; wir betrachten die
Zeitreihen MA(n.p)i>2n und die "gleitenden Volatilitäten"



MV{n,p) : =

Dann wählt man noch eine feste Konstante D und definiert den
"Gleitenden Durchschnitt mit Bandbreiten":
MA(n,p) ±D-MV{n,p)
Die Ableitung von Kaufs- und Verkaufssignalen aus dieser Konstruktion
ist schon etwas unpräziser gegeben als vorhin beim MACD und beruht auf
folgenden Behauptungen:
• Scharfe Preiskorrekturen ergeben sich, wenn das Band "enger" wird,
• Wenn die Preise das Band verlassen (das kann natürlich
vorkommen!), dann wird der
momentane Trend beibehalten.
• Minima und Maxima außerhalb des Bands, gefolgt von Minima und
Maxima in-
nerhalb des Bands werden von einer Trendumkehr (also steigend zu
fallend, oder
umgekehrt) gefolgt,
• Eine Auf- oder Abwärtsbewegung, die am "Rand" des Bandes beginnt,
wird bis zur
Erreichung des anderen "Randes" fortgesetzt.
Auch diese Behauptungen ließen sich im Prinzip in einer formalisierten
Weise in Kaufs¬und Verkaufssignale übersetzen.
6.2 Relative Strength Index
Eine weitere Ableitung aus einer Preiszeitreihe p ist der Relative,
Strength Index (RSI): Hier betrachtet man die durchschnittlichen
Aufwärtsbewegungen und Abwärtsbewegungen über einen gewissen
Zeitraum, also etwas in der Art von
lA
fr = - > X{Pt-i+i > Pi-i) iPi-i+i. ~ Pi-i) i n *7^
lA

(Dabei soll x{exPr) die "Wahrheitsfunktion" bedeuten, die den Wert 1
annimmt, wenn expr zutrifft, sonst 0.)
Der RSI ist dann definiert als
100-

1 + U/D' Wieder gibt es dazu Behauptungen:
• Der RSI erreicht Maxima und Minima vor der zugrundeliegenden
Zeitreihe p,
• Wenn die zugrundeliegenden Preise neue Maxima oder Minima
erreichen, ohne daß
auch der RSI dasselbe tut, dann erfolgt eine Trendumkehr in Richtung
des RSI.
Auch hier könnte man diese Behauptungen geeignet formalisieren und in
eine algorithmi¬sche Erzeugung von Kaufs/Verkaufs-Signalen
übersetzen.
6.3 Elliot Wave Theory, Fibonacci—Analysen, etc.
Man sieht schon: Die Sache hat ein bißchen etwas von einer obskuren
"Geheimlehre". Es gibt, wie gesagt, noch eine Reihe weiterer Beispiele:
Die sogenannte Elliot Wave Theory z.B. basiert auf dem Glauben, daß
sich Preiszeitreihen quasi aus "ineinandergeschachtelten" Grundmustern
(Wellen) zusammensetzen (offenbar ein ähnlicher Gedanke, wie er auch
in der Chaostheorie eine Rolle spielt), bei denen die Fibonacci-Zahlen
Fo = 0, Fl = 1, Fn = Fn_! + Fn_2 für n > 2 den "Rhythmus" vorgeben.
6.4 Betrachtung aus mathematischer Sicht
Keinesfalls soll der Eindruck erweckt werden, die oben beschriebenen
Verfahren wären brauchbare Anleitungen, um an Aktien- oder
Warenmärkten Geld zu verdienen: Die mei¬sten dieser "Methoden"
funktionieren nicht — es ging hier nur um ein paar Beispiele, damit
man sich etwas unter "Technischer Analyse" vorstellen kann.
Trotzdem ist die Idee, durch ein "geniales System" die Märkte zu
überlisten und reich zu werden, begreiflicherweise sehr verlockend:
Nicht nur Fondgesellschaften auf den Cayman Islands versuchen ihr
Glück mit derartigen Modellen, auch in vergleichsweise konservativen
Banken gibt es gelegentlich kleine Teams, die sich mit Technischer
Analyse beschäftigen.
Es treten aber (zumindest) zwei Fragen in diesem Zusammenhang auf, die
von einem mathematischen Interesse sind:
48

• Es ist ja nicht ausgeschlossen, daß Preiszeitreihen gewissen
(statistischen) Gesetz¬
mäßigkeiten folgen: Man kann daher die Frage stellen, wie solche
Gesetzmäßigkeiten
aussehen könnten, und wie man sie durch Beobachtungen und empirische
Untersu¬
chungen herausfinden könnte.
Diese Frage führt einerseits zur Zeitreihenanalyse: Diese
mathematisch-statistische Disziplin beschäftigt sich mit Modellen und
Schätzverfahren für Zeitreihen (und ist im Gegensatz zur Technischen
Analyse ein durchaus präzises, wissenschaftliches Ge¬biet).
Andrerseits kann man die Frage so verstehen, daß hier möglicherweise
Muster zu er-kennen wären, die man gewinnbringend ausnützen könnte:
Dies führt auf das Gebiet der Artificial Intelligence (z.B. Neuronale
Netze).
• Eine sehr interessante Frage ist die der Rückkopplung: Wenn in
einem Markt viele
Teilnehmer sind, die mit Methoden der Technischen Analyse
Investmententscheidun¬
gen treffen, dann sollte durch die Veränderung von Angebot und
Nachfrage eine
interessante Dynamik entstehen, die wahrscheinlich nicht leicht zu
analysieren ist.
Diese Frage führt in Richtung Spieltheorie und dynamische Systeme:
Diesen Weg werden wir hier aber nicht weiter verfolgen
7 Zeitreihenanalyse
Wieder will und kann ich hier nicht in alle Details einsteigen: Für
unsere Zwecke soll es genügen, ein paar typische Fragen und Methoden
anzudeuten, damit man ein erstes Bild von der Sache gewinnt: Kenntnisse
aus Linearer Algebra und etwas Funktionalanalysis und
Wahrscheinlichkeitstheorie sind an dieser Stelle nützlich. (Wer tiefer
in diese Thematik einsteigen möchte, sei auf das Buch von
Brockwell/Davis [2] verwiesen.)
7.1 Stationäre Zeitreihen
Für beliebige Zufallsvariablen X und Y gilt nach der
Cauchy-Schwarzschen Ungleichung




Ist X quadratisch integrierbar, so folgt E(|Ä'|) < y^E (1)y^E (X'2) <
oo, daher sind sowohl der Erwartungswert E(Ä') als auch die Varianz
var (X) := E((X — E(A'))2) endlich.
Sind X, Y beide quadratisch integrierbar, so folgt


E(|(X - E(X))(Y - E(Y))\) < y/E((X - E(A'))2)^E((Y - E(Y)f),
49

somit ist die Kovarianz cov (A, Y) := E((A - E(A))(Y - E(Y)))
endlich und es gilt cov (A, Y) < v/var(X)v/var(Y).
Schließlich definiert man die Korrelation zweier quadratisch
integrierbarer Zufallsvariablen:
(vv, cov(A,Y)
corr(A, 1) := —^=

Es gilt also stets |corr (A", Y)\ < 1. Die Korrelation ist ein Maß
für die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Zufallsvariablen: Man kann
nämlich zeigen, daß die Beziehung corr (A, Y) = 1 genau dann gilt,
wenn wenn Y = a ■ X + b für geeignete Zahlen o / 0,5 gilt.
Wir haben vorhin schon den Begriff Zeitreihe verwendet; nun wollen wir
ihn exakt definie¬ren: Eine Zeitreihe ist eine Folge von quadratisch
integrierbaren Zufallsvariablen (Xt)leT (TCZ).
Beispiel 8 Eine. Folge, unkorrelierter Zufallsvariablen WL mit
Mittelwert fi und Varianz a2 nennt man weißes Rauschen (white noisej.
Unkorreliert bedeutet, daß cov (Wt, Ws) = Ss.iO~2.
Beispiel 9 Eine. Irrfahrt ist die Folge, der Partialsummen von weißem-
Rauschen: It Yli=oWi- Hier erhält man
E (/,) = tß, cov (It, Is) = a2 min(s, *).
Definition 1 Unter der Autokovarianzfunktion 7 bzw.
Autokorrelationsfunktion p einer Zeitreihe XL versteht man
j{s,t) :=cov(As,At), p(s.t) := corr (Xs, Xt) .
Die Zeitreihe heißt stationär, wenn E(A,) = /.< \/t und cov (Xs,Xt) =
c(s — t) \/s,t; d.h.. die Kovarianz hängt nur vom Abstand s — t
ab. In diesem Fall notiert man Autokovari¬anzfunktion und
Autokorrelationsfunktion einfacher:
7(7?) := cov (Xs,Xs+h) , p(h) :=corr(As,As+/i).
Weißes Rauschen ist also eine stationäre Zeitreihe mit
Autokorrelationsfunktion p(h) = <50,/,, die Irrfahrt ist dagegen nicht
stationär.
■50

7.2 Trends und saisonale Schwankungen
Nun können wir näher präzisieren, was wir zuvor als
"Gesetzmäßigkeiten" in Zeitreihen bezeichnet haben: Viele Zeitreihen
können in folgender Form zerlegt werden
Xt = m{t) + s(t) + Zt, (11)
wobei m(t) eine (langsam variierende) deterministische Funktion ist —
die sogenannte Trendkomponente —, s(t) eine ebenfalls
deterministische periodische Funktion — die so-genannte saisonale
Komponente —, und Zt eine stationäre Zeitreihe — die sogenannte.
Rauschkomponente oder Noise-Komponente.
7.2.1 Trends ohne saisonale Schwankungen
Modellieren wir noch einfacher
Xt = m(t) + Zt,
d.h.. die saisonale Komponente fehlt: Dann können wir den
zugrundeliegenden Trend durch mehrere Methoden herausfiltern.
7.2.1.1 Methode der kleinsten Quadrate Bei diesem Verfahren paßt man
eine Fa¬milie von Modellfunktionen so an die Beobachtungen an, daß
die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.
Das bekannteste Beispiel für solche Modellfunktionen sind die Polynome
1, t, f2,... , tn: Die Methode bedeutet dann, für die Trendkomponente
m(t) ein Näherungspoynom m(t) := «o+
a\t. -\ \- anxn anzugeben, sodaß die Summe der quadrierten
Abweichungen X)«=o(m(*) ~~
m\t))2 minimal wird.
Bemerkung 15 Wenn man zu den Modellfunktionen periodische Funktionen
dazugibt (etwa sin(27rf/10), sin(27rf/20),. ..,sin(2irt/60)). darin
kann man auf diese Weise zugleich auch eine saisonale Komponente
schätzen.
7.2.1.2 Gleitende Durchschnitte Gleitende Durchschnitte haben wir
bereits ken-nengelernt: Sie bewirken eine Glättung der Zeitreihe, die
man an einem einfachen Beispiel gut illustrieren kann:
Beispiel 10 Sei die beobachtete Zeitreihe folgende "verrauschte
lineare Funktion":
X[ = a0 + a\t + Zt,
wobei Zt weißes Rauschen mit Mittelwert 0 und Varianz a2 sei.
Abbildung 19 zeigt eine graphische Veranschaulichung einer solchen
Zeitreihe.
■51


50 100 150 200 250

Abbildung 19: Verrauschte lineare Funktion: 43 + t/50 +

47
46.5
46
45.5
45 s
44.5
/^ 50 100 150
43.5
Abbildung 20: Verrauschte lineare Funktion: 43 + t/öO + Zh geglättet
Dann gilt für den gleitenden Durchschnitt X := MA(2n + 1,Ä'):
X[ = ö0 + ai(t -n) + Zt

'l'
mit Zi = ö^iYl'il'o ^i-i: %i hat wieder Mittelwert 0; die Varianz var
(Zt) ist gleich <7J/'(2n + 1). D.h.. die Streuung der Rauschkomponente
wurde, reduziert, und der zugrun-deliegende Trend ist besser zu
erkennen. Abbildung 20 zeigt eine, graphische. Veranschau-lichung der
geglätteten Zeitreihe.
Bemerkung 16 Gleitende Durchschnitte wirken also als Filter, die.
lineare Trendkompo¬nenten ungestört "durchlassen''. Schon ein
quadratisches Polynom aber würde durch die. "Behandlung'' mit einem
gleitenden Durchschnitt "verformf werden. Es gibt aber spezielle Filter
für Polynome: Der sogenannte Spencersche gleitende
15-Punkte-Durchschnitt läßt kubische Polynome, in diesem Sinn
"unverändert":

iXi — i mit o;,- = w_,- und

^

1


74. 67,46, 21, 3, —5, —6, —3).

52

7.2.1.3 Differenzenbildung Für Zeitreihen XL definieren wir den
identischen Opera¬tor / durch I(Xt) = Xi, den Lag-Operator L durch
L(Xt) := Xt-i und den Differenzen-Operator A durch Ä := I — L.
Potenzen dieser Operatoren werden induktiv definiert, also etwa Lk{X)
:= L(Lk~i-(X). Mit diesen Operatoren kann man "wie gewohnt" rechnen, so
gilt z.B. der binomische Lehrsatz:

A"(A',) = (/ - L)n(Xt) =
Während gleitende Durchschnitte aber die Rauschkomponente reduzieren,
bringen Diffe¬renzen die Trendkomponente "zum Verschwinden": Ist
nämlich die Trendkomponente ein Polynom vom Grad < k — 1, so wird
diese Komponente durch Ak "wegdifferenziert" , sodaß nur die
Rauschkomponenten übrigbleibt.
7.2.2 Trends und saisonale Schwankungen
Auch saisonale Schwankungen (aufgefaßt als periodische Funktionen)
lassen sich mit ele-mentaren Methoden "herausfiltern": Wenn die
Trendkomponente "klein" ist, kann man sie direkt schätzen; ansonsten
können wir auch wieder gleitende Durchschnitte und Diffe-renzenbildung
verwenden.
Hat man Grund zur Annahme, die Zeitreihe wäre eine verrauschte
Überlagerung von tri-gonometrischen Funktionen (Sinus-Schwingungen),
dann kann man die entsprechenden Koeffizienten natürlich auch mit der
Fourier-Transformation bestimmen.
7.3 ARMA-Prozesse
Eine interessante Klasse von Zeitreihen wollen wir nun vorstellen:
Definition 2 Die Zeitreihe (Xt)tez heißt ein ARM A(p,q)-Prozeß
(AutoRegressiver Mo-ving Average Prozeß,), wenn sie stationär ist und
für alle t
Xi - oiA',_i aipXi-p = Zi + ßiZi-i -\ h ßqZL-q (12)
gilt, wobei Zt weißes Rauschen mit Mittelwert 0 ist.
Unter Verwendung des Lagoperators L können wir das kompakter notieren:
a(L)Xt = ß{L)Xh
wobei
a(x) = 1 - aLx apxp, ß(x) = 1 + ßix + h ßqxq.
Das Polynom a(x) heißt das autoregressive. Polynom, ß(x) heißt das
Moving-Average-Polynom.
■53

Ich kann hier nicht auf die Fülle der interessanten Resultate zu
dieser Klasse von Zeitreihen eingehen: Ein paar wichtige Begriffe
mögen aber als Anregung dienen, sich hier weiter zu vertiefen.
Es ist bei einem entsprechend (12) allgemein angesetzten ARMA-Viozeü
nicht von vorne-herein klar, ob überhaupt eine stationäre Lösung
existiert:
Satz 1 Die Differenzengleichung a(L)Xi = Z( besitzt genau dann eine
stationäre Lösung, wenn das Polynom a(z) keine Nullstellen am
Einheitskreis hat.
Definition 3 Ein ARM A(p,q)-Prozeß heißt kausal, wenn es eine
quadratisch summier bare Folge, von Konstanten (pk)k>o gibt, sodaß
für alle ieZ gilt:
j=o
Diese Definition ist einleuchtend: Wenn wir an Zeitreihen interessiert
sind, die wir progno-stizieren wollen, dann können wir ja immer nur
jeweils vergangene Zeitpunkte betrachten; eine "Gesetzmäßigkeit" für
die Zeitreihe, in die auch zukünftige Zeitpunkt einfließen, kann zwar
mathematisch durchaus interessant sein, ist aber für Zwecke der
"Technischen Ana¬lyse" unbrauchbar.
Satz 2 Ein ARMA(p, 1)-Prozeß ist genau dann kausal, wenn die
Nullstellen des Polynoms a(x) alle, außerhalb des Einheitskreises
Wir könnten nun für stationäre Lösungen von (12) die
Autokovarianzfunktion bestimmen, und umgekehrt versuchen, aus einer
empirisch geschätzten Autokovarianzfunktion die Po¬lynome a(x) und
ß(x) zu bestimmen: Wenn letzteres gelänge, wäre das ein gutes
Beispiel für jenes "Herausfinden einer zugrundeliegenden
Gesetzmäßigkeit" einer Zeitreihe, von der wir zuvor sprachen. Die
Sätze. Methoden und Algorithmen in diesem Zusammenhang sprengen
freilich den Rahmen dieser Einführung: Interessierte seien wieder auf
das Buch von Brockwell/Davis [2] verwiesen.
8 Neuronale Netze
Zum Abschluß dieser kursorischen Einführung wollen wir noch die
sogenannten Neuronalen Netze vorstellen: WTie gesagt, geht es bei der
"Technischen Analyse" ja darum, günstige Momente für Kauf und Verkauf
von Finanzinstrumenten aus vergangenen Preisinformatio¬nen
herauszulesen. Für diese Aufgabe scheint das menschliche Gehirn
prinzipiell geeignet — jedenfalls gibt es bei den Banken und
Investmentfirmen in der Regel Personen, die ge¬nau das versuchen. Was
liegt also näher, als die Denkweise des menschlichen Gehirns am
■54


Interior Layer Interior Layer Output Layer
Abbildung 21: Neuronales Netz
Computer zu simulieren, und von seiner größeren Speicherkapazität
(wenn es um lange Zeitreihen geht), Verarbeitungsgeschwindigkeit und
Genauigkeit zu profitieren? — Genau diesen Ansatz eines "Modells des
Gehirns" verfolgen die sogenannten neuronalen Netze.
Ich kann hier wieder nicht mehr als einige Grundbegriffe bringen, die
als Einstieg dienen können: Mehr Details findet man etwa im Buch von
Haykin [3].
8.1 Grundlage: Neurologisches Hirnmodell
Der Ausgangspunkt ist ein Modell der Arbeitsweise des menschlichen
Gehirns, das aus Nervenzellen (Neuronen — daher der Name Neuronale.
Netze) aufgebaut ist, die in einer komplexen Weise miteinander
verbunden sind und schwache elektrische Ströme weiterlei¬ten.
Die Information bzw. das "Wissen" ist dann quasi in der "Topologie"
dieses Netzes codiert, und in der Art und Weise, wie die Neuronen die
Ströme beim Durchleiten beeinflussen.
8.2 Topologie eines Neuronalen Netzes: Gerichtete Graphen
Die "Topologie" kann in der Sprache der Graphentheorie beschrieben
werden: Das Netz aus Neuronen erscheint als gerichteter Graph;
vergleiche Abbildung 21.
8.3 Aktivierung eines Neuronalen Netzes: Sigmoide Funktionen
Die Art und Weise, wie elektrische Ströme durchs Netz fließen, kann
durch "Gewichte" auf den Kanten des gerichteten Graphen sowie durch
"Aktivierungsfunktionen" beschrie-

Inputs



"Aktivierungsfunktion"
y
y
v
"Summations-Verbindung" \ — xp
"Synaptische Gewichte"

Abbildung 22: Neuronen: Gewichte, Aktivierungsfunktion

1
0.8 0.6 0 .4 0.2
-10 -5 5 10
Abbildung 23: Sigmoide Funktion -r-——,—r für a = 1
" " l+exp(u;c)

ben werden: Man muß sich das so vorstellen, daß Inputwerte (etwa:
Lichtreize von der Netzhaut) durch ein Netz von Neuronen laufen, dabei
mit bestimmten Gewichten multi¬pliziert (also verstärkt oder
abgeschwächt) werden; die Summe solcher Reize laufen dann in
Verbindungen zusammen, von wo aus sie mit einer Aktivierungsfunktion
transformiert und dann weitergeschickt werden. Dies ist in Abbildung 22
veranschaulicht.
Die Aktivierungsfunktionen, die man hier verwendet, haben den Charakter
von "Schwel-lenwerten" : Unterhalb eines Schwellenwerts "spielt sich
gar nichts ab" darüber springt der Fluß des elektrischen Stroms
unstetig oder stetig an. Sehr häufig verwendet man in der
für einen reellen Parameter
Praxis sigmoide Funktionen (d.h., S-förmige), wie z.B.

l+exp(a;c)
a. Abbildung 23 zeigt die "S-förmige" Gestalt einer sigmoiden
Funktion.
8.4 Lernen eines Neuronalen Netzes
Soweit haben wir nur eine Beschreibung einer Transformation von
Inputdaten in Outputda¬ten geliefert: Der Witz an der Sache ist der,
daß ein solches Neuronales Netz relativ einfach
■56

am Computer "simuliert" werden kann, und daß jener Teil seines
"Wissens", der in den Gewichten repräsentiert ist. veränderbar ist
(die Topologie wird dagegen meist konstant vorgegeben): Das Neuronale
Netz "lernt" das richtige "Verhalten" durch die Präsentation von
"Trainings-Daten" und eine nachfolgende Adaptierung der Gewichte,
abhängig davon, wie erfolgreich es die gewünschten Outputs erzeugt
hat.
All diese vage formulierten Vorgänge lassen sich geeignet (aber den
Rahmen dieser Ein¬führung sprengend) präzisieren und am Computer
implementieren: Tatsächlich werden Neuronale Netze in verschiedenen
praktischen Anwendungen mit Erfolg eingesetzt.
Für unser Anwendungsgebiet "Technische Analyse" müßte man sich die
Inputdaten als einen Vektor der letzten n Preisdaten (also einen
Abschnitt der Preiszeitreihe) denken; der gewünschte Output wäre dann
eine (jedenfalls im Erwartungswert) brauchbare Vorhersage der
Kursentwicklung.
Selzer ist ein Betrüger
2006-11-26 19:16:14 UTC
Post by SelMcKenzie
Author: Dieter Selzer-Mckenzie
falsch, wieder mal geklaut und zwar diesmal hier:

http://www.mat.univie.ac.at/~mfulmek/documents/ss03/skriptum2003.pdf
s***@yahoo.com.au
2006-11-27 06:08:14 UTC
The Strategy of Options-Trading
Author Dieter Selzer-McKenzie

An sich selbst zuerst die Frage, " Warum möchte ich traden?" Wenn Ihre
Antwort lautet, um Geld zu verdienen, dann müssen Sie sich des
Weiteren fragen: ,,Möchte ich auf einfache Weise Geld verdienen, oder
arbeite ich gerne hart für mein Geld?" Wenn Sie sich gerne abrackern
und das Gefühl haben, dass Sie Ihr Geld durch harte Arbeit
,,verdienen" müssen, dann wird Sie das, was ich Ihnen zu sagen habe,
nicht reizen.
Es gibt viele Märkte, die man traden kann und viele Arten, sie zu
traden. Vielleicht haben Sie bereits Forex-Trading versucht oder
Aktien-Trading oder Futures-Trading, und ich vermute, dass Sie nie viel
Geld in diesen Märkten verdient haben. Es gibt einen einfachen Grund
dafür, warum Sie kein Geld verdient haben und dieser besteht darin,
dass Sie keine grossen Chancen hatten. Wenn Sie Lotto spielen, liegen
Ihre Chancen auf einen Hauptgewinn wahrscheinlich bei 1 zu 12
Millionen, im Casino haben Sie keine grossen Chancen, denn letztlich
wird die Bank gewinnen. Beim Forex-Trading, Futures-Trading oder
Aktien-Trading haben Sie weniger als 50% Gewinnchancen.
Die gute Nachricht lautet, dass die Chancen beim Optionen-Trading
äusserst günstig für Sie stehen, manchmal erreichen diese 90% oder
mehr. Ich weiss, das klingt zu schön, um wahr zu sein. Aber lesen Sie
weiter, und Sie werden sehen, warum die Arten von Trades, die ich
regelmässig mache, eine so grosse Erfolgswahrscheinlichkeit
aufzuweisen haben. Und Erfolg beim Trading bedeutet Geld.
Ich verspreche Ihnen nicht, dass Sie sagenhaft reich mit dem Trading
von Optionen werden, aber Sie werden eine ordentliche Kapitalrendite
erzielen. Ich trade nun schon seit mehr als acht Jahren und habe
festgestellt, dass die Methode, die ich beim Optionen-Trading anwende,
zu meinem Lebensstil und zu meiner Mentalität passt. Wenn Sie den
Adrenalinstoss geniessen, der mit dem Einsatz grosser Beträge auf
einen Münzwurf verbunden ist, dann könnte Forex-oder Daytrading in
den Futuresmärkten für Sie geeignet sein.
"Es muss doch einen Haken dabei geben" werden Sie sagen "sonst würde
doch jeder Optionen traden."
Ja, es gibt einen Haken, aber dieser ist nicht so gewichtig, dass er
nicht gemeistert werden könnte. Ich habe herausgefunden, dass es zwei
Hauptgründe dafür gibt, warum sich die Leute von den Optionsmärkten
fernhalten:

Erstens: Mangel an Wissen und Verständnis darüber, wie Optionen
funktionieren.
Zweitens: Die meisten Trader sind bereits zu Beginn entmutigt, weil sie
sich einreden lassen, dass der Verkauf bzw. das Schreiben von Optionen
gefährlich sei und sie damit viel Geld verlieren werden; und diese
Trader machen dann jedoch rasch die Erfahrung, dass der Kauf von
Optionen meistens dazu führt, dass sie Geld verlieren.
Ich möchte Ihnen eine Frage stellen: Bedeutet es, dass die Verkäufer
(Stillhalter) der Optionen dauernd Geld verlieren, wenn an den
Optionsbörsen in New York und Chicago mehr als zwei Milliarden Dollars
am Tag die Hände zwischen Käufern und Verkäufern wechseln? Es wird
Sie überraschen zu erfahren, dass es tatsächlich die Käufer sind,
die regelmässig ihr Geld verlieren. Man geht davon aus, dass 70% bis
75% der Käufer ihr Geld einbüssen.
(Ich berechne diesen Prozentsatz der Käufer, die verlieren, jeden Tag;
diese Berechnungsmöglichkeit ist Teil der SelMcKenzie
Options-Software. Es ist erstaunlich, dass dieser Prozentsatz der
Verlierer mitunter 95% beträgt. )
Wenn die Optionskäufer andauernd Geld verlieren, wirft dies die Frage
auf, warum die Käufer ihre Orientierung nicht ändern. Die Antwort hat
mit dem Optimismus der Käufer zu tun. Sie gehen davon aus, dass sie
eines Tages das grosse Glück erfahren und einen Riesengewinn machen
werden. Gott sei Dank haben sie diesen Optimismus, denn sonst gäbe es
ja niemandem, an den ich meine Optionen verkaufen könnte!
Eines der am meisten gehüteten Geheimnisse beim Trading von Optionen
ist die Tatsache, dass der Verkauf (das Schreiben) von Optionen auf
Dauer viel lukrativer ist als der Kauf von Optionen. Damit behaupte ich
nicht, dass jeder Käufer einer Option sein Geld verlieren wird. Wenn
Ihnen jedoch daran liegt, dauerhafte Gewinne zu erzielen und die
Chancen auf Ihrer Seite zu wissen, dann ist der Verkauf (das Schreiben)
von Optionen der angebrachte Weg.
Der beste Weg, um die erwähnten Anfangsschwierigkeiten zu überwinden,
besteht im Erwerb von Wissen, damit Sie lernen, wie Optionen
funktionieren. Ich habe meine SelMcKenzie Options-Software insbesondere
dafür entwickelt, um den Tradern zum Verständnis zu verhelfen, was es
mit den Optionen auf sich hat und wie man mit Optionen Geld verdient.
Weil ich diesen Lernprozess auch vollziehen musste, habe ich die
Tabelle ,,Training Aid" (Ausbildungshilfe) programmiert, mit der Sie
Ihre Lernkurve verkürzen können. Heutzutage ist es so viel einfacher,
Optionen zu verstehen, was vor acht Jahren nicht der Fall war, als ich
damit anfing. Wenn Sie die Zeit zu investieren bereit sind, die Sie
brauchen, um den Umgang mit Optionen zu erlernen, so werden Sie sehr
überrascht sein, wie belohnend Optionen-Trading sein kann.

Die zweite Schwierigkeit besteht darin, dem Optionsverkauf das Risiko
zu nehmen, und dies ist das Hauptanliegen meines
SelMcKenzie-Optionskurs (SelMcKenzie Options-Software und Handbuch).
Sie werden lernen, wie Sie die vielen Gelegenheiten nutzen können, die
sich praktisch jeden Tag ergeben. Sie werden lernen, wie man die besten
Optionen analysiert und innerhalb von Minuten unter mehr als 13.000
Optionen auswählt. Sie werden das Management Ihrer Trades erlernen, so
dass Sie nur ganz selten einen Verlust erleiden, und ausserdem werden
Sie erfahren, wie man diesen Verlust manchmal an jemand anderen
verkaufen kann! Sie werden lernen, wie man entsprechende Strategien
für die jeweiligen Marktbedingungen auswählt und noch vieles mehr.
Es ist eines der Geheimnisse, welches die meisten Trader übersehen,
nämlich dass die Märkte manipuliert werden. Sie werden verblüfft
sein, wenn Sie erfahren, dass das, was Sie als willkürliche
Preisbewegungen in den Märkten betrachten, in Wirklichkeit
Manipulationen sind, die den ,,Insidern" viel Geld einbringen. Wer
sind diese Insider? Es sind die grossen Institutionen, die Maklerfirmen
und die Parketthändler, die das Geheimnis kennen, wonach die
Verkäufer das meiste Geld verdienen.
Wenn Sie eine Option kaufen wollen, so mangelt es nicht an Verkäufern,
und oft ist ein solcher Verkäufer einer der sogenannten grossen Jungs.
Indem diese eine grosse Menge an Optionen halten, können sie oft den
Marktpreis manipulieren, bis die Optionen verfallen, so dass sie die
Optionsprämien für die vorher verkauften Optionen behalten können -
und genau das tun sie auch.
Ich werde Ihnen im Detail zeigen, wie die grossen Jungs das
bewerkstelligen, und wie Sie daraus Nutzen ziehen, indem Sie einfach
nachmachen, was die Profis machen und somit ebenfalls viel Geld
verdienen.
Als ich vor Jahren das Futures-Trading ausprobierte, habe ich nie Geld
damit verdient; ich habe nie viel verloren, aber auch nie etwas
gewonnen, worüber es sich zu sprechen lohnen würde. Ich fand es sehr
frustrierend, dass ich trotz all meiner Mühe nicht vom Fleck kam.
Damals ging ich einige Optionen-Trades im New Yorker Silbermarkt ein
und machte in ein paar Monaten stattliche Gewinne damit. Dies öffnete
mir die Augen, und so setzte ich mich hin, um herauszufinden, warum
diese Trades so erfolgreich waren.
Aufgrund dieser Analyse kam ich auf etwas, was ich meine vier
grundlegenden Regeln nenne, auf denen meine Tradeauswahl beruht. Diese
Regeln sind auf alle Märkte anwendbar, und sie sind insbesondere für
die Optionsmärkte geeignet, wo man diese vier Regeln mühelos
einsetzen kann.

Die vier Regeln sind:
1. so viel Geld wie möglich verdienen
2. dieses Geld in kürzester Zeit verdienen
3. dabei nur ein Mindestmass an Risiko eingehen
4. die höchste Wahrscheinlichkeit auf Erfolg erreichen
Wir hätten alle gerne einen Trade, mit dem wir $1.000.000 in einer
Minute verdienen, nur $10 riskieren und eine 100%ige
Erfolgswahrscheinlichkeit haben. Leider ergeben sich solche Trades
nicht allzu oft! Bei meinem Trading berücksichtige ich diese vier
Kriterien, so dass nur die besten Optionen-Trades ausgewählt werden.
Nun beschäftigen wir uns mit der Erklärung einer Call-Option, um
Ihnen eine Vorstellung zu vermitteln, warum der Verkauf (das Schreiben)
von Optionen der Weg zum Geldverdienen ist. Ich gehe davon aus, dass
Sie Grundkenntnisse im Futures-Trading besitzen. Wenn Sie allerdings
eine vollständige Einführung benötigen, dann schlage ich vor, dass
Sie mit dem SelMcKenzie-Optionskurs (SelMcKenzie Options-Software und
Handbuch) beginnen, in dem Sie nicht nur eine vollständige Erklärung
finden, sondern Sie werden auch den Umgang mit der Tabelle ,,Option
Training Aid" erlernen, was Ihre Lernkurve verkürzen wird.
DIE CALL-OPTION
DER KAUF EINER CALL-OPTION (DER LONG CALL)
Zuerst schauen wir uns an, was wir kaufen, wenn wir einen
Call-Optionen-Kontrakt kaufen:
Wenn wir eine Call-Option kaufen, so haben wir als Käufer das Recht,
aber nicht die Pflicht, d. h. die Wahlmöglichkeit oder Option, den
zugrunde liegenden Futureskontrakt zu einem vorher festlegten Preis
(dem Basispreis oder Ausübungspreis) zu kaufen (long zu gehen).
Wenn wir den Call kaufen, haben wir einen Preis (die Prämie) dafür zu
bezahlen, und die Option wird eine bestimmte Laufzeit haben, bevor sie
verfällt (Restlaufzeit in Tagen bis zum Optionsverfall).
Beachten Sie, dass es uns die obige Definition ermöglicht, den
zugrunde liegenden Futureskontrakt zu einer beliebigen Zeit zwischen
dem Zeitpunkt des Kaufs unserer Option bis zum Verfallstag der Option
zu kaufen (long zu gehen). Wir haben also zu jedem beliebigen
Zeitpunkt, an dem wir uns für die Ausübung unseres Rechts aufgrund
des Optionskontrakts entscheiden, Zugriff auf eine


garantierte Long-Futuresposition zu dem bei dem Kauf der Option
festgelegten Basispreis.
Wir wollen uns nun ein Diagramm anschauen, das den Gewinn und Verlust
einer Long-Call-Option in Bezug auf den zugrunde liegenden Futurespreis
zeigt. Wir nehmen an, dass wir diese Call-Option zu einem
Ausübungspreis von 100 gekauft haben, während sich der Futurespreis
bei 80 befand.




Nun analysieren wir, was uns dieses Diagramm zu sagen hat:
1. Da wir eine Prämie für den Call bezahlen, beginnen wir mit einem
Verlust;
in diesem Fall ist es ein Verlust von -20 Cents.
2. Wenn der zugrunde liegende Futurespreis den Ausübungspreis von 100
erreicht, haben wir immer noch einen Verlust von 20 zu verzeichnen.
3. Wenn der zugrunde liegende Futurespreis 120 erreicht, sind wir an
der
Gewinnschwelle (Breakeven) abgelangt.
4. Wenn sich der zugrunde liegende Futurespreis über 120 hinaus
bewegt,
sind wir in der Gewinnzone.


Wie wir dem Diagramm entnehmen können, werden wir unsere Prämie von
20 Cents verlieren, wenn sich der Futurespreis beim Verfall der Option
unter dem Ausübungspreis von 100 befindet. Wenn sich der Futurespreis
zwischen 100 und 120 befindet, werden wir nur einen Teil unserer
Prämie verlieren. Wenn der Futurespreis am Verfallsdatum über 120
endet, erzielen wir einen Gewinn, und je höher der Preis steigt, desto
mehr Geld werden wir verdienen.
So sieht die Gewinn/Verlust-Situation für einen Long-Call aus:
1. Wir können nicht mehr als die Prämie verlieren.
2. Unser Gewinn ist unbegrenzt.
Der Kauf eines Call ist deshalb eine so beliebte Art von Trade, weil
Sie nicht mehr als die Prämie verlieren können, aber wenn Sie mit
Ihrer Einschätzung hinsichtlich der Marktrichtung recht haben, dann
können Sie viel Geld verdienen.
Können Sie erkennen, was mit dem Kauf eines Calls nicht stimmt, wenn
Sie meine vier Kriterien zur Auswahl eines Trades in Ihre Überlegungen
einbeziehen?
1. Sie können viel Geld mit einem Long-Call verdienen; das ist gut.
2. Wenn der zugrunde liegende Futurespreis innerhalb weniger Tage
rasant steigt, dann ist das gut.
3. Das Risiko ist begrenzt; das ist gut.
4. Wie steht es mit der Erfolgswahrscheinlichkeit? Hier bleiben wir
stecken, denn wenn wir uns bei der Vorhersage der Richtung des
zugrunde liegenden Futurespreises täuschen, werden wir unsere
Prämie verlieren. Anhand unseres Beispiels können Sie feststellen,
dass Ihre Erfolgswahrscheinlichkeit in der Regel etwa 15% beträgt.
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit erfordert eine recht komplizierte
Formel, aber die gute Nachricht für Sie ist, dass das die SelMcKenzie
Options-Software in dem Tabellenblatt ,,OptionsChoice" (Auswahl der
Optionen) automatisch erledigt.


DER VERKAUF (SCHREIBEN) EINER CALL OPTION (DER SHORT CALL)
Okay, wir haben also eine Call-Option gekauft. Von wem haben wir diese
gekauft? Es muss doch jemanden geben, der sie uns verkauft hat, jemand
auf der anderen Seite unseres Trades. So wird uns bewusst, dass es
nicht nur Käufer von Call-Optionen gibt, sondern das es auch
Verkäufer von Call-Optionen gibt. Beachten Sie, dass der Verkäufer
häufig als SCHREIBER einer Option bezeichnet wird.
Was verkaufen wir also, wenn wir einen Call-Optionskontrakt verkaufen?
Der Kontrakt verpflichtet den Schreiber (Verkäufer) eines Calls dazu,
bei Ausübung den zugrunde liegenden Futureskontrakt zu einem vorher
festgelegten Futurespreis (Basispreis) zu verkaufen (short zu gehen).
Wenn wir einen Call verkaufen, erhalten wir eine Prämie, und die
Option wird eine festgelegte Laufzeit haben, bevor sie verfällt
(Restlaufzeit).
Der Verkäufer muss auch einen Geldbetrag hinterlegen, der ,,Margin"
genannt wird und dazu dient, einen eventuellen Verlust aus der
verkauften Call-Position zu decken. Die Margin ändert sich täglich
und kann beträchtlich ausfallen, wenn sich eine geschriebene
Call-Option im Verlust befindet und Geld verliert.
Der Verkäufer des Calls erhält eine Prämie, die der Käufer des
Calls bezahlt hat. Diese Prämie stellt den maximalen Gewinn dar, den
Sie in diesem Trade erzielen können.
Beachten Sie auch, dass der Verkäufer nur dann Geld verliert, wenn er
eine Ausübungsankündigung erhält, denn dann wird er nämlich eine
Short-Futuresposition am Ausübungspreis eingehen und seine
Futuresposition liquidieren müssen. Wenn er während der Laufzeit der
Option keine Ausübungsanzeige bekommt, kann er die Prämie behalten,
die er ursprünglich bezahlt bekam, als er die Option verkauft hatte.
Somit kann der Verkäufer des Calls unter folgenden Umständen Geld
verdienen:
1. Der Futurespreis darf nicht über den Ausübungspreis hinausgehen,
sondern muss weiterhin unterhalb des Ausübungspreises notieren.
2. Wenn die Call-Option verfällt und der Futurespreis nicht über den
Ausübungspreis steigt, dann behält der Verkäufer die gesamte
Prämie.
Nun schauen wir uns wieder ein Gewinn/Verlust-Diagramm an, aber dieses
Mal aus der Perspektive des Verkäufers eines Calls. Wir gehen davon
aus, dass wir den Call bei einem Ausübungspreis von 200 verkauft
haben, als der zugrunde liegende Futurespreis 180 betrug.


Anhand des Diagramms können Sie sehen, dass wir etwas Geld verdienen,
falls der Futurespreis unter der Gewinnschwelle (Breakeven) von 220
bleibt. Wenn der Futurespreis unter 200 bleibt, können wir die gesamte
Prämie behalten.
Die Gewinn/Verlust-Situation für den Short-Call sieht folgendermassen
aus:
1. Der maximale Gewinn ist auf die erhaltene Prämie begrenzt.
2. Die Verluste sind unbegrenzt, was davon abhängt, wie sehr der
Futurespreis steigt.
Der Verkauf von Calls ist deshalb so unbeliebt, weil Ihr Verdienst auf
die Prämie beschränkt ist, Sie aber sehr viel Geld verlieren können,
falls der zugrunde liegende Futurespreis drastisch steigen sollte.
Nun wollen wir unsere vier Kriterien zur Tradeauswahl auf den Verkauf
eines Calls anwenden:
1. Ihr einziger Gewinn besteht in der erhaltenen Prämie; nicht so gut.
2. Wenn der zugrunde liegende Futurespreis innerhalb weniger Tage
rasant
steigt, so ist das schlecht.
3. Die erforderliche Margin kann sich beträchtlich erhöhen; das ist
schlecht.
4. Wie steht es mit der Erfolgswahrscheinlichkeit? Hier kommt die
Überraschung! Während der Käufer des Calls, wie zuvor erwähnt,
lediglich eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 15% aufzuweisen hat, ist
es
beim Verkäufer eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 85%.

Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit erfordert eine recht komplizierte
Formel, aber die gute Nachricht für Sie ist, dass das die SelMcKenzie
Options-Software in dem Tabellenblatt ,,OptionsChoice" (Auswahl der
Optionen) automatisch erledigt
Dies führt uns nun zu einer interessanten Überlegung: Was wäre, wenn
es uns gelänge, das Risiko und die grossen Verluste zu beseitigen, die
mit dem Verkauf von Calls verbunden sind? Wären wir dann mit der
Prämie als Gewinn zufrieden?
Bitte entscheiden Sie sich: Hätten Sie lieber eine
Gewinnwahrscheinlichkeit von 10 bis 15%, oder hätten Sie lieber eine
Gewinnwahrscheinlichkeit von 85% bis 90%?
Ich mag es, dass die Wahrscheinlichkeit eines erfolgreichen Trades beim
Verkauf von Optionen so günstig für mich aussieht. Wenn es eine
Möglichkeit gibt, das Risiko beim Kauf von Optionen zu eliminieren,
dann könnte diese Art von Trade das sein, wonach ich suche.
Wie Sie vielleicht schon erraten haben, gibt es viele Möglichkeiten,
um das Risiko beim Verkauf von Optionen zu eliminieren. Eine
Möglichkeit besteht darin, einen Call zu verkaufen und diesen dann mit
einem Futureskonstrakt zu decken, was als gedeckter Call bekannt ist.
Eine weitere Möglichkeit ist ein Short-Straddle oder ein Strangle oder
sogar ein Short-Condor oder Butterfly. Diese Bezeichnungen hören sich
vielleicht fremd für Sie an, aber sie dienen alle der Begrenzung Ihrer
Verluste und erhöhen ausserdem Ihre Erfolgschancen.
Ich werde hier nicht näher auf die Einzelheiten der erwähnten Trades
eingehen, weil sie alle im SelMcKenzie-Optionskurs (SelMcKenzie
Options-Software und Handbuch) erklärt werden.

Nun diskutieren wir das folgende Diagramm der Futurespreise, das
erläutert, warum der Optionsverkäufer viel grössere Chancen hat,
Geld zu verdienen, als es für Optionskäufer der Fall ist.



Die obigen Kursstäbe zeigen die täglichen Futurespreise des
Mai-Sojabohnenkontrakts. Der letzte Kursstab (in der Mitte unten) zeigt
uns den Schlusskurs (Closing Price) am 16. April, der 965 Cents betrug
(nehmen wir einmal an, heute sei der 16. April). Es bleiben noch 7 Tage
bis zum Verfall der Optionen, der am 23. April (Option Expiry Day)
stattfindet, und wir betrachten die 1000-Cent-Call-Option (Strike
Price, die blaue waagrechte Linie). Wir können nicht in die Zukunft
sehen, und daher wissen wir auch nicht, wo sich die Preise in den
nächsten 7 Tagen befinden werden.
Wenn ich diese Option für 8,5 Cents ($425) am 16. April kaufe, dann
befindet sich die Gewinnschwelle (Breakeven Price) bei 1008,5 Cents
(die gepunktete waagrechte Linie). Wir zeichnen eine imaginäre Linie
vom Schlusskurs am 16. April bis zur zukünftigen Gewinnschwelle am
23.April. Genau genommen, wäre es keine gerade Linie, aber das spielt
für unsere Zwecke keine Rolle.

Die Geheimnisse der Optionen-Trader
Damit der Käufer dieser Call-Option überhaupt Geld verdienen kann,
muss der Futurespreis irgendwann in den rot schraffierten Bereich
kommen. Der Futures muss noch innerhalb der Laufzeit der Option
steigen, damit der Käufer in die Gewinnzone gelangt, und je höher die
Preise steigen, desto höher wird der Gewinn des Käufers ausfallen.
Wenn sich der Futurespreis unterhalb der Linie im grünen Bereich
befindet, verdient der Verkäufer Geld. Daher ist der rot schraffierte
Bereich die Gelegenheit für den Käufer, Gewinne zu erzielen. Die
grüne schraffierte Fläche bietet dem Verkäufer Gelegenheit, Geld zu
verdienen.
Wie Sie sehen, ist die grüne Fläche viel grosser als die rote
Fläche, und damit wird klar ersichtlich, dass der Verkäufer viel mehr
Gewinnmöglichkeiten hat. Wenn sich der Futurespreis nach unten oder
seitwärts bewegt, so verdient der Verkäufer Geld, und selbst wenn die
Preise steigen, erzielt der Verkäufer Gewinne, solange sie nicht in
den roten Bereich gelangen.
Dies sagt uns, dass der Call-Käufer die Richtung der Futurespreise
korrekt vorhersagen muss, um überhaupt Gewinne zu erzielen, und wir
wissen, dass dies nicht einfach ist, weil es sich dabei nicht um eine
exakte Wissenschaft handelt. Der Verkäufer jedoch kann sich bezüglich
der Richtung der Futurespreise täuschen, solange er nicht allzu falsch
liegt. Weil es einen Grössenunterschied zwischen den beiden Flächen
in der obigen Abbildung gibt, können wir berechnen, wie wahrscheinlich
es ist, dass der Futurespreis am Verfallstag unter dem Ausübungspreis
enden wird. Diese Wahrscheinlichkeitsangabe berücksichtigt noch die
Restlaufzeit der Option, die Distanz des Futurespreises zum
Ausübungspreis und die Volatilität des Marktes.
Alle diese Berechnungen werden im SelMcKenzie Options Handbuch für Sie
beschrieben und erklärt.
Stellen wir uns nun das G/V-Diagramm einer anderen Call-Option vor, mit
einem Ausübungspreis von 1025 Cents, der weiter vom Schlusskurs am 16.
April entfernt ist. Ich denke, inzwischen ist Ihnen klar geworden, dass
es nun eine höhere Wahrscheinlichkeit dafür gibt, dass der
Futurespreis die 1025 Cents in den nächsten 7 Tagen nicht erreichen
wird. Und natürlich ist es noch unwahrscheinlicher, dass der
Ausübungspreis von 1050 erreicht wird.
Die Wahrscheinlichkeit, dass die Option wertlos verfällt, wird mit
Hilfe einer Standardformel berechnet. Eine Wahrscheinlichkeit von 75%,
dass die Option wertlos verfällt, bedeutet, dass der Verkäufer der
Option die Prämie mit einer 75%igen Wahrscheinlichkeit behalten kann,
und der Käufer der Option hat eine Chance von 25%, dass er überhaupt
Geld verdient.
Wäre Ihnen eine Chance von 75% nicht lieber als eine Chance von 25%?
Da bin ich mir sicher, und deshalb geht es im SelMcKenzie-Optionskurs
(SelMcKenzie Options Software und Handbuch) darum, Ihnen zu zeigen, wie
man mit dem Verkauf von Optionen Geld verdient.
Denken Sie an das vierte Kriterium zur Auswahl von Optionen mit hoher
Erfolgswahrscheinlichkeit.
Warum kaufen also einige Leute Optionen, während andere Optionen
verkaufen?
Nun, die Käufer hoffen und träumen immer von einem grossen Gewinn,
wenn sich der Markt drastisch in die bevorzugte Richtung bewegt, und
gelegentlich machen sie auch einen Riesengewinn. Aber meistens werden
ihre Prämien zunichte gemacht. Denken Sie daran, dass Optionen meist
wertlos verfallen.
Die Verkäufer hingegen bekommen die Prämie, wenn sie eine Option
verkaufen, und ihre Position richtig absichern, werden sie die Prämie
am Verfallstag behalten können. Das Geld im Voraus zu bekommen, ist
viel besser, als Geld ausgeben und hoffen zu müssen, dass sich der
Markt in Ihrem Sinne entwickelt.
Sie werden feststellen, dass die meisten Optionen von "Insidern"
verkauft werden, die Kontrolle über die Märkte haben, und das wird
ganz offensichtlich, wenn Sie analysieren, wie sich die Futurespreise
verhalten, wenn sich das Verfallsdatum der Option nähert. Diese
Insider können die Märkte manipulieren, und das tun sie auch
meistens, wobei viele Trader verscheucht werden und ihre Gewinne kurz
vor dem Verfallstermin wieder abgeben müssen, weil sie kalte Füsse
bekommen haben. Wir werden Ihnen zeigen, wie diese Manipulation vor
sich geht und wie sie durchhalten und all die hübschen Prämien
einsammeln können, die da sind, um mitgenommen zu werden.
Bisher habe ich noch nicht über Puts gesprochen, aber diese werden
ausführlich im SelMcKenzie-Optionskurs (SelMcKenzie Options-Software
und Handbuch) erklärt. Wir stellen einige erstaunliche Strategien vor,
bei denen Calls und Puts miteinander kombiniert werden, mit dem Ziel,
Ihr Trading noch sicherer zu machen.
Wir werfen noch kurz einen Blick auf ein Phänomen, welches Sie davon
überzeugen sollte, dass der Optionsverkäufer grosse Chancen hat.
Bedenken Sie folgendes:
Jeden Tag, der vergeht (wobei auch die Wochenenden und Ferienzeiten
einbezogen sind), verliert die Optionsprämie an Wert, und diesen
Zeitwertverlust nennt man Theta (im Handbuch ausführlich erklärt und
in den Tabellen der SelMcKenzie Options-Software für Sie berechnet).
Das bedeutet folgendes: Wenn Sie eine Option am Freitag für
beispielsweise $15 verkaufen, dann können Sie diese möglicherweise
schon am Montag mit einem Gewinn wieder zurückkaufen.
Hier sehen Sie ein Diagramm, das zeigt, wie die Prämie täglich an
Wert verliert, was man Zeitwertverfall nennt.

Days To Expiry
Der Käufer kann nur passiv beobachten, wie seine Prämie langsam
zunichte gemacht wird, während sich der Verkäufer die Hände reiben
und sich freuen kann, dass er mit jedem Tag, der vergeht, mehr Geld
verdient.
Ich hoffe, dass ich Ihnen einen Eindruck vermitteln konnte, um was es
beim Verkauf von Optionen geht und warum Sie mit dem Verkauf auf Dauer
mehr Geld verdienen, als mit dem Kauf von Optionen. Ich möchte Ihnen
noch sagen, dass es einige seltene Gelegenheiten gibt, Optionen auf
saisonaler Grundlage zu kaufen, aber diese Möglichkeiten bieten sich
nur selten. Bei meinem Trading habe ich ein übergeordnetes Prinzip,
das lautet: Mache es dir einfach. Wenn ich dauerhaft in 70% der Zeit
Geld verdiene und meine Verluste auf 30% der Zeit begrenze, dann bin
ich ein glücklicher Trader.

Testen Sie die Möglichkeiten der SelMcKenzie Options-Software, und Sie
werden sofort den Nutzen und die hervorragenden Möglichkeiten sehen,
welche diese Software bietet.
Wenn Sie es nicht versuchen, werden Sie es nie erfahren; und bestimmt
werden Sie hocherfreut sein!
s***@yahoo.com.au
2006-11-28 08:27:26 UTC
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Werte Trader,
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Ich empfehle Ihnen, dieses Seminar Lektion für Lektion
durchzuarbeiten.

Dieses Seminar hatte ich selbst bereits auf der World-Money-Show in
Orlando,Florida,
vorgetragen, fast 4.000 Zuhörer waren begeistert.
Das Video können Sie sich ebenfalls im Internet herunterladen, jedoch
sollten Sie auch anhand der schriftlichen Unterlagen das Seminar
durcharbeiten.

Auf der nächsten World-Money-Show im Februar 2007 in Orlando,Florida,
werde ich ebenfalls wieder eine Erweiterung vortragen. Dieser Vortrag
bzw. das Seminar wird live im Börsenfernsehen bei uns und bei
Bloomberg übertragen. Schalten Sie also ein.

Auf der Website sind die letzten Lektionen noch nicht vollständig,
werden aber diese Woche noch eingegeben.

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Selzer-McKenzie
November 2006

.
Post by SelMcKenzie
www.Trading-Finanzmathematik.de.vu
Kurs und Seminar Finanzmathematik
Author: Dieter Selzer-Mckenzie
Zinskurve, Barwerte und das No—Arbitrage—Prinzip
2.1 Zinsenszinsrechnung
Der einfachste Grundbegriff Verzinsung ist im "normalen" Bankgeschäft
zugleich auch der wichtigste: Die wesentlich "spektakuläreren" Dinge
(wie Aktien, Termingeschäfte oder Optionen) spielen, vom Volumen im
Bankgeschäft her betrachtet, eher eine untergeordnete Rolle.
Beginnen wir mit dem einfachsten Beispiel dazu: Ein Guthaben G werde
mit fixem jähr¬lichem Zinssatz r auf Laufzeit n Jahre angelegt. Mit
0 Jahre 1 Jahr 2 Jahre n Jahre
G G(l + r) G(l + rf G{\ + r)"
2.2 Diskontierungsfaktoren und Barwerte
Angenommen, das Guthaben ist u täglich fällig": d.h.. es kann
jederzeit behoben werden, wie das z.B. bei einem einfachen Sparbuch der
Fall ist: Was ist die "richtige" Verzinsung für eine Laufzeit von t
Jahren, wenn t GR eine beliebige reelle Zahl ist (z.B. ein halbes
Jahr)?
10
20
30
40
Jahre
Abbildung 1: Aufzinsungsfaktoren bei 5% im Zeitablauf
Für den Mathematiker ist die Sache natürlich sofort klar: Potenzen xz
sind ja für beliebiges ZGM definiert, und zwar über die
Der Diskontierungsfaktor (discount factor) für Laufzeit t muß also so
Man spricht hier von einem Aufzinsungsfaktor: Das Guthaben wird über
die Laufzeit aufgezinst. Abbildung 1 zeigt diese Aufzinsung im
Zeitablauf: Bei einem festen Zinssatz von 5% versiebenfacht sich das
Guthaben in 40 Jahren.
Bemerkung 1 Es ist gebräuchlich, den Zinssatz immer für ein Jahr
anzugeben (annuali-sierter Zinssatz^), so wie wir das zuvor auch getan
haben, unabhängig von der Laufzeit, für die das Geld tatsächlich
angelegt wird (sie kann kürzer oder länger als ein Jahr sein).
Rechenbeispiel 1 Wenn wir heute ATS100.000,- auf ein täglich fälliges
Sparbuch mit einer Verzinsung von 1.5% einzahlen, dann wächst dieses
Guthaben (wenn nichts abgehoben oder eingezahlt wird, und wenn der
Zinssatz nicht geändert wird) in zweieinhalb Jahren auf folgende Summe
p
100.000 • (1 + 0.015p = 100.000
2-5 = 100.000 • 1, 03792 = 103.792.
Der Aufzinsungsfaktor ist hier also 1,03792; die. aufgelaufenen Zinsen
(accrued interest,) betragen ATS3.792,-.
Mit Aufzinsungsfaktoren beantwortet man also die Frage: "Auf welchen
Betrag wächst ein Guthaben an, das heute bei festem Zinssatz r auf
feste Laufzeit t angelegt wird?". Die umgekehrte Fragestellung "Wieviel
Geld muß ich heute bei festem Zinssatz r anlegen, um in t Jahren auf
einen bestimmten Betrag zu kommen?" führt auf den Begriff
Abzinsungs-faktor: Er ist einfach der Kehrwert des Aufzinsungsfaktors.
Der Vorteil der natürlichen Schreibweise mit der Exponentialfunktion
wird hier deutlich: Man blickt ja sozusagen in der Zeit rückwärts
(von dem Zeitpunkt in t Jahren zurück auf heute), betrachtet also eine
negative Laufzeit — der richtige Abzinsungsfaktor ist also
e-log(l+r)<
Mit Abzinsungsfaktoren ermittelt man den "heutigen Wert" [present
value) einer Zahlung (cashflow) in der Zukunft: Man nennt diesen Wert
auch Barwert.
Rechenbeispiel 2 Wenn wir in eineinhalb Jahren um ATS1.000.000,- ein
Grundstück kaufen wollen, für das wir heute bereits das Geld auf die
Seite legen wollen, und zwar — wie vorhin — auf einem täglich
fälligen Sparbuch mit einer fixen Verzinsung von 1.75%, dann müssen
1.000.000 • (1 + 0.0175)-1-5 = 1.000.000 • e-i°sU+o.oi75)i.5 =
i.QOO.OOO • 0, 974313 = 974.313.
Der Abzinsungsfaktor ist hier also 0,974313; die. aufgelaufenen Zinsen
974;313 +25.687 = 1.000.000
Kapital Zinsen Rtt-ckzahiung
Diese einfache Art, Zinsen bzw. Diskontierungsfaktoren zu berechnen,
wird als finanzma-thematische Verzinsung oder stetige Verzinsung
(continuous compounding) bezeichnet.
Bemerkung 2 Die. "natürliche" Schreibweise mit der
Exponentialfunktion, die wir hier verwenden, findet sich in den meisten
theoretischen Lehrbüchern (Volkswirtschaft, Finan-zwissenschaft): Dort
wird daher oft
R = log(l + r)
als jährlicher Zinssatz angesehen. Für praktische Berechnungen darf
man das natürlich nicht mit dem jährlichen Zinssatz r verwechseln,
wie. er in der Bank (meist in Prozent) angegeben wird!
In der Praxis ist die Sache noch etwas komplizierter: Es gibt
verschiedene day count Con-ventions (actual/actual. 30/360, actual/360)
zur Ermittlung der Laufzeit in Jahren (so werden Laufzeiten ja
gewöhnlich angegeben, entsprechend der Angabe von annualisierten
Beispiel 1 Wenn man Geld für exakt 150 Tage anlegt, dann entspricht
das unter der Konvention actual/360 einer Laufzeit von ^ ~ 0.416667
Jahren; hingegen unter der Kon¬vention actual/actual einer Laufzeit
von 70 ~ 0.410959 Jahren (bzw. TM ~ 0.409836 in einem- Schaltjahr).
Weiters spielen in der Praxis auch noch "Vereinfachungen" eine Rolle,
die auf eine "Linea-risierung" hinauslaufen — für kurze Laufzeiten
(unter einem Jahr) bleibt diese Näherung auch recht nahe an der
Diese Linearisierung macht das Rechnen mit der Hand natürlich
einfacher, allerdings entste¬hen dadurch andre Komplikationen: Für
das Verstehen der grundlegenden Fragestellungen genügt die
finanzmathematische Verzinsung völlig, daher bleiben wir in der Folge
dabei (und verwenden meistens die Schreibweise mit der
Exponentialfunktion).
Diese einfachen Begriffe "Diskontierungsfaktoren und Barwerte" reichen
schon aus, um die Bewertung (pricing) vieler zinsgebundener Produkte
durchzuführen: Anleihen, Termin¬geschäfte und Swaps.
2.3 Das No—Arbitrage—Prinzip
Wir haben oben ganz selbstverständlich die finanzmathematische
Verzinsung eingeführt — rein mathematisch gesehen war das auch das
"einzig Richtige".
Man kann aber auch mit einem einleuchtenden wirtschaftlichen Argument
"begründen". daß unsere Diskontierungsfaktoren für beliebige
Bezeichnen wir dazu den "richtigen" Aufzinsungsfaktor für eine
beliebige Lautzeit t bei fixem jährlichem Zinssatz r mit DrJ,. Dann
Wir argumentieren nun, daß für einen beliebigen Bruch - folgende
(1)
Daraus würde sofort die Richtigkeit der finanzmathematischen
Verzinsung für beliebige rationale, Laufzeiten t = f E Q folgen (die
Gültigkeit für ganz K folgt dann aus einem Stetigkeitsargument).
Angenommen, Gleichung (1) wäre nicht erfüllt: Dann ist also entweder
r/
— dann wäre es aus Sicht des Anlegers aber günstiger, das Guthaben
nach jeweils 2 Jahren samt Zinsen abzuheben und sofort wieder
anzulegen, und das insgesamt q-mal, statt es einfach auf p Jahre
anzulegen.
Oder es ist umgekehrt
dann wäre es aus Sicht der Bank aber günstiger, von jährlicher
Verzinsung auf £-jährliche Verzinsung umzustellen.
Beide Annahmen würden also einen "instabilen" Zustand ergeben; ein
"Gleichgewichtszu¬stand" ergibt sich nur, wenn Gleichung (1) erfüllt
ist.
Hinterfragen wir dieses "Gleichgewichtsargument" noch weiter: Warum
sollte ein solcher "instabiler Zustand" denn nicht möglich sein?
Nehmen wir einmal (etwas unrealistisch!) an, daß man immer zum exakt
gleichen Zinsssatz Geld ausborgen und anlegen kann.
Würde dann die letzte Ungleichung gelten, dann könnte ich mir also
heute einen Betrag G auf £ Jahre ausborgen und die gesamte Summe auf
insgesamt p Jahre anlegen; die
Rückzahlungen zu den Terminen 2,... , ——— würde ich durch
Neu-Ausborgen der jeweils benötigten Summen (wieder auf - Jahre)
Zeit Soll Haben
0 -G G
£ 1 -G(Dr>E)
■2p 1 -G(Dr*)2
(q-i-)p -G(A^)^1
q
P -G(Drz)« G{l + r)P
Nach p Jahren könnte ich also die positive Differenz
G ■ ((1 + rf - (DrJ_y
einstreifen: ohne Kapital oder Arbeit (einmal abgesehen von der
Unbequemlichkeit, insge¬samt (q — l)-mal Geld neu ausborgen zu
müssen) einzusetzen und ohne mich einem Risiko auszusetzen.
Es ist ein ebenso einfaches wie häufig benutztes Grundprinzip bei der
Bewertung von Finanzinstrumenten (Anleihen, Aktien, Futures, Optionen,
etc.), daß solche Arbitrage-Gewinne, also Gewinne ohne Kapitaleinsatz
und ohne Risiko, nicht möglich sind (jedenfalls theoretisch).
Jede echte Arbitrage-Möglichkeit lockt sofort Marktteilnehmer an, die
die Situation ausnützen und sie dadurch schnell wieder zum
Verschwinden bringen.
Beispiel 2 Das einfachste Beispiel dafür ist die sogenannte
Platz-Arbitrage; Wenn ein und dasselbe Wertpapier an zwei verschiedenen
Börseplätzen A und B zu verschiedenen Preisen gehandelt wird, also
etwa
PA > PB,
dann kann ein findiger Investor n Papiere, in B kaufen, sofort nach A
bringen und dort verkaufen — der risikolose Gewinn ist dann
n(PA-PB).
Aber gerade durch das Ausnützen dieser Möglichkeit wird in B die
Nachfrage erhöht (und dadurch auch tendenziell der Preis), während in
Insgesamt verschwindet also rasch jene Preisdifferenz, die. die
Arbitrage-Möglichkeit verursacht hat. (Genau genommen müßte es also
nicht "No-Arbitrage" heißen, sondern
'"'Only-Very-Short-Term-Arbitrage"'.)
außerdem ist eine sol¬che Transaktion mit einem gewissen Risiko
behaftet (beim Transport könnten die Papiere, verloren gehen) — die
'No-Arbitrage-Bedingung" wird daher nicht
PA = PB
lauten, sondern
\PA — PB\ < Transportkosten + Versicherung.
10
Prozent
150 200
250
Tage
Abbildung 2: Zinskurve ATS kurz
2.4 Zinskurve und Fristentransformation
Bisher haben wir einen fixen Zinssatz betrachtet; im allgemeinen ist
der (jährliche) Zinssatz r aber abhängig von der Laufzeit t: Für
feste zeitliche Bindungen (d.h., das veranlagte Geld kann nicht ohne
weiteres vor Ende der vereinbarten Laufzeit behoben werden) gelten in
der Regel andere Zinssätze als für täglich fällige Gelder — der
Zinssatz r ist also eine eine Funktion r(t) der Laufzeit t. Diese
Funktion bezeichnet man als Zinskurve (yield curve, term structure of
interest rates).
Zum Beispiel sah die Zinskurve im österreichischen Schilling am 30.
Juni 1999 so aus wie in Abbildung 2.
Die Abbildung zeigt das sogenannte kurze Ende der Zinskurve (Laufzeiten
unter einem Jahr); man spricht das auch vom Geldmarkt bzw. von
Geldmarkts ätzen: Für Laufzeiten über einem Jahr spricht man von
Kapitalmarkt bzw. Kapitalmarkts ätzen: das ist das soge¬nannte lange
Ende, der Zinskurve.
Bemerkung 3 Es ist vielleicht ein bißchen verwirrend: Die. Werte, der
Zinskurve sind immer als annualisierte Zinsen zu verstehen, also
umgerechnet auf ein Jahr, auch wenn die entsprechende Laufzeit eine
ganz andre ist als ein Jahr. Diskontierungssfaktoren für Laufzeit t
sehen dann einheitlich so aus: (1 + r(t)) .
Das in Abbildung 2 erkennbare monoton steigende Verhalten der Zinskurve
ist typisch (man spricht von einer steilen Zinskurve), aber keineswegs
zwingend: Zinskurven können auch fallend sein; man spricht dann von
einer inversen Zinskurve, wie sie z.B. im Schweizer Franken bis etwa 30
Tage Laufzeit gegeben war (siehe Abbildung 3).
Bei einer steilen Zinskurve kann eine Bank also ein langfristiges, hoch
verzinstes Darlehen vergeben, das sie durch ständiges Neu-Ausborgen
von kurzfristigen, niedrig verzinsten Geldern refinanziert: Der
sogenannte Strukturbeitrag bei einer solchen Ausleihung ist die
Differenz zwischen den Zinsen der Ausleihung und den
Refinanzierungszinsen: er ist umso größer, je steiler die Zinskurve
ist. Bei einer flachen (konstanten) Zinskurve fällt dieser Ertrag aus
der sogenannten Fristentransformation weg — die Bank lebt dann nur
noch vom Konditionenbeitrag. das ist der Aufschlag, der dem Kunden
verrechnet wird (d.h.,
11
Prozent
1.45 1.4
1.35 1.3
1.25 1.2
1.15
250
50
100
150
200
i Tage
Abbildung 3: Zinskurve CHF kurz
wenn die Bank selbst Geld zu Zinssatz r ausborgen kann, verleiht sie es
zu Zinssatz r + e weiter an den Kunden).
Bemerkung 4 Tatsächlich wurde, die. Zinsmarge in den letzten Jahren
immer geringer — die Zinskurve wurde, also flacher. In der Hoffnung
auf zusätzliche. Erträge gewinnt deshalb der Handel mit "neuen
Produkten" (Derivate, etc.) an Bedeutung. Dafür werden ver¬mehrt
quantitativ ausgebildete Leute gebraucht, die die damit verbundenen
neuen Aufgaben (Produktentwicklung; Bewertung, Risikomanagement,)
bewältigen können.
2.5 Zinsänderungs—, Liquiditäts— und Ausfallsrisiko
Gibt es nun also doch Möglichkeiten für jene Arbitrage-Gewinne, die
wir zuvor gerade theoretisch ausgeschlossen haben? — In einem
gewissen Sinne ja: Die Banken haben eine Art "Monopolstellung" (ein
normaler Kreditkunde kommt ja an 3-Monats-Gelder gar nicht heran;
jedenfalls nicht zu den Interbank-Konditionen). Zudem verhält sich ein
typischer Kreditkunde auch anders als ein Arbitrageur (ein Kredit wird
ja in der Regel nicht aus "Spekulationsabsicht" aufgenommen).
Freier Markteintritt und freies Wechselspiel von Angebot und Nachfrage
sind hier also nicht in dem Maße gegeben, wie sie für unser
No-Arbitrage-Prinzip notwendig wären.
Davon abgesehen ist die Fristentransformation aber ohnehin keine echte
Arbitragemöglich¬keit: Sie ist nämlich keineswegs risikofrei!
das Zinsände-rungsrisiko besteht bei der Fristentransformation darin,
daß die kurzfristigen Zinsen steigen und/oder die langfristigen Zinsen
sinken und so den Ertrag aus der Fristen-transformation in einen
Verlust verwandeln (wenn die Zinskurve invers wird).
Liquiditätsrisiko: Auch wenn die Zinsen an sich unverändert bleiben,
kann eine Situation eintreten, wo die Refinanzierung nicht oder nicht
vollständig durchgeführt werden kann, weil nicht genügend
Liquidität im Markt besteht (d.h. in unserem Beispiel, daß die Bank
nicht genügend kurzfristiges Geld ausborgen kann).
12
Ausfallsrisiko: Schließlich können Darlehen "notleidend" bzw.
"uneinbringlich" werden, sodaß sie schließlich "wertberichtigt"
werden müssen. Diese beschönigenden Worte bedeuten: Der Schuldner
(Kreditnehmer, Emittent einer Industrieanleihe) kann die aufgenommene
Summe nicht mehr zurückzahlen; das Kreditrisiko, das die Bank trägt,
ist also schlagend geworden.
2.6 Kreditrisiko — verschiedene Zinskurven
Unter "Kreditrisiko'' versteht man einfach die Gefahr für den
Gläubiger, daß der Schuldner die Ausleihung nicht zurückzahlt (er
fällt also aus: Ausfallsrisiko, default risk).
Stellen wir hier einmal die Frage, warum überhaupt Zinsen bezahlt
werden (in machen Kulturen wird das Verleihen gegen Zinsen ja als
• Zinsen sind zum einen eine Prämie dafür, daß das verliehene Geld
nicht sofort in
Konsumgüter investiert werden kann,
• Zinsen sind zum anderen aber auch eine Risikoprämie dafür, daß
der Schuldner aus¬
fallen kann.
Es ist klar: Je höher dieses Ausfallsrisiko (Problem: Quantifizierung
von Kreditrisiko) ist, desto höher sollte die Risikoprämie ausfallen
(Problem: Pricing oder Konditionengestaltung für Kredite).
Bemerkung 5 Abstrakt betrachtet, gibt es hier eine Analogie zu einer
ganz vertrauten Sa¬che: Bei einer KFZ-Haftpflichtversicherung trägt
die Versicherungsgesellschaft das Risiko von möglichen Schäden und
hebt dafür eine Versicherungsprämie ein. Der Witz dabei ist, daß die
Verluste aus Schadensfällen insgesamt (im- Erwartungswert) geringer
sind als die. vereinnahmten Prämien (minus dem Verwaltungsaufwand) —
und genauso ist es bei der Konditionengestaltung für Kredite.
Bekanntlich steigen die. Versicherungsprämien mit der Größe des
Risikos: Bei KFZ-Haft-pflichtversicherungen versucht man, die
Versicherungsnehmer in ein Bonus-Malus-System einzuordnen, das den
"Risikograden" entspricht, und paßt daran die Prämien an — und
genauso ist es bei der Bonitätsbeurteilung von Kreditnehmern.
Ein Schuldner mit höherem Ausfallsrisiko (geringere Bonität) wird
höhere Zinsen für eine Ausleihung aufwenden müssen als ein Schuldner
erstklassiger Bonität.
In der Praxis werden Bonitätsklassen für große Firmen durch ein
Rating ausgedrückt, das von internationalen Rating-Agenturen
festgelegt wird (Moody's, Standard & Poor). Für kleinere Firmen oder
Privatkunden existieren meist nur bankinterne Ratings auf der Grundlage
der Einschätzungen durch die Kreditbetreuer.
13
Schuldverschreibungen von Regierungen (Staatsanle.ihe.7i) und
Ausleihungen zwischen grö-ßeren Banken (Interbank-Geschäft) gelten
im wesentlichen als risikofrei: Wenn wir vorhin von der Zinskurve
gesprochen haben, dann hatten wir immer diese sogenannte risikofreie.
Zinskurve, im Sinn.
In der Praxis hat man es aber für jede Bonitätsklasse mit einer
eigenen Zinksurve zu tun: Den Abstand (die Differenz) zwischen zwei
Zinskurven für unterschiedliche Bonität bezeichnet man auch als
Spread (credit spread).
Kreditzinsen für ein typisches Darlehen enthalten also neben dem
risikofreien Zinssatz r (den auch ein erstklassiger Schuldner. z.B. die
Republik Österreich, bezahlen müßte) auch einen credit spread A,
entsprechend der Bonität des jeweiligen Schuldners.
Nehmen wir einmal an, daß ein Schuldner in einer gewissen
Bonitätsklasse mit Wahrschein-lichkeit p ausfällt und mit
Wahrscheinlichkeit l—p seine Schulden zurückzahlt: Plausibler¬weise
sollte dann folgende Ungleichung für ein endfälliges Darlehen mit
rf- (2)
Erwarlungswcrt
3 Finanzinstrumente: Underlyings
Der Begriff Finanzinstrumente ist sehr weit gefaßt, er umfaßt
• Börsegehandelte Produkte: Anleihen. Aktien, Rohstoffe, Futures,
Optionen,
"Over-The-Counter"-Produkte): Devi¬
sentermingeschäfte, Swaps. FRAs. Optionsscheine.
Etwas unscharf ist die Trennung zwischen Underlying und Derivat, denn
ein Derivat kann sehr wohl selbst wieder ein Underlying sein (z.B. ist
eine Swaption eine Option auf einen Swap). Eine zirkuläre Definition
wäre: Ein Underlying ist ein Finanzinstrument, auf das sich ein
Derivatives Finanzinstrument beziehen kann.
3.1 Anleihen (Bonds, Schuldtitel, Fixed Income)
Anleihen sind Wertpapiere, die die Rückzahlung des Nominale am Ende
der Laufzeit ver-briefen, sowie (in der Regel) periodische
Zinszahlungen (Kupon) während der Laufzeit. Darunter fallen
Staatsanleihen, Industrieanleihen oder Bankanleihen.
14
Die Bezeichnung Fixed Income bedeutet, daß mit solchen Papieren ein im
vorhinein be¬kanntes (fixiertes) Einkommen verbunden ist; im Gegensatz
zu den meist Ungewissen Di¬videnden bei Aktien.
3.1.1 Festverzinsliche Anleihen (Fixed Bonds)
Darunter versteht man Anleihen, deren Verzinsung von Anfang an
festgelegt (fixiert) ist: im Gegensatz zu den variabel verzinslichen
Anleihen, deren Verzinsung während der Laufzeit angepaßt wird.
3.1.1.1 Nullkupon-Anleihe (Zero-Bond) Die Anleihe kann so gestaltet
sein, daß die aufgelaufenen Zinsen (accrued interesi) ein einziges Mal
ausgezahlt werden, nämlich "verpackt" in der Rückzahlung am Ende der
Laufzeit. (Die Bezeichnung "Null-Kupon-Anleihe" ergibt sich aus der
Tatsache, daß während der Laufzeit keine Zinszahlungen (Ku¬pons)
erfolgen.)
Sei Ar die Rückzahlung, 0 der Beginn und T das Ende der Laufzeit: Was
ist der "richtige" Wert dieses Zero-Bonds zu einem beliebigen Zeitpunkt
s E [0,T]?
Gemäß dem No-Arbitrage-Prinzip ist der richtige Wert Vs zum Zeitpunkt
s gerade jene Summe, die ich bei der aktuellen Zinskurve rs investieren
müßte, um zum Zeitpunkt T diesselbe Auszahlung (denselben cashflow)
zu erhalten, die die Anleihe garantiert. Sei R(t) := log (1 + rs(t));
zum Zeitpunkt s hat die Anleihe die Restlaufzeit (T — s), also
das ist nichts anderes als der Barwert zum Zeitpunkt s.
Bemerkung 6 Es ist ein bißchen verwirrend: Die Zinskurve ist eine
Funktion der Zeit (Laufzeit); sie. ist aber selbst im Ablauf der Zeit
nicht konstant (sie. kann sich verschieben, drehen, etc.): Unter rs(t)
verstehen wir also jenen annualisierten Zinssatz, der
• zum Zeitpunkt s
• für die Laufzeit t (also Fälligkeitstermin s + t!)
gültig ist.
Bemerkung 7 Mari muß klar auseinanderhalten: Der (Bar-)Wert einer
Anleihe und ihr Nominale hängen zwar zusammen, sie stimmen aber in der
Regel nicht überein!
15
Umgekehrt ergibt sich aus einem bekannten Marktpreis Vs für diese
Nullkuponanleihe sofort der Zinssatz rs(T — s), also ein Punkt auf
der Zinskurve: Man nennt die Zinskurve deshalb auch zero-coupon
yield-curve oder einfach ze.ro curve.
Bemerkung 8 Abstraktion: Barwert als Wert einer zukünftigen Zahlung.
Wenn wir den Barwert in diesem- Zusammenhang als Marktwert (im Sinne,
von Preis eines handelbaren Gutes) betrachten, dann bedeutet das, daß
wir den zukünftigen cashflow kaufen und verkaufen können: An den
Gedanken, daß man auch "unkörperliche", abstrakte Dinge. (wie. ein
Recht oder eine zukünftige. Leistung) kaufen und verkaufen kann, muß
man sich einmal grundsätzlich gewöhnen, dann versteht man auch die
sogenannten Derivate leicht.
3.1.1.2 Kupon Anleihe (Coupon Bearing Bond) Eine Kupon-Anleihe
garantiert feste Zinszahlungen (Kupon) zu festgelegten Zeiten während
der Laufzeit (im allgemeinen periodisch, z.B. jährlich oder
halbjährlich): Dieser Typ von Anleihen ist der häufigste.
Beispiel 3 Wir betrachten eine. Anleihe, mit Nominale N und jährlichem
Kupon entspre¬chend einem (annualisierten) Zinssatz r bei einer
Laufzeit von 5 Jahren: Dies ergibt einen zukünftigen Zahlungsstrom
Zeit in Jahren: 1 2 3 4 5
Cashflow: N ■ r N ■ r N ■ r N ■ r N ■ (1 + r)
Für jeden dieser 5 einzelnen cashflows können wir die. Barwerte,
berechnen (wie beim ze.ro bond): der Wert des coupon bearing bond ist
N ■ r ■
+ e-°-R{2) +
3'Ä(3> + e.
) + N ■ (1 + r)
Diese simple Zerlegung des Finanzinstruments in seine "atomaren
Bestandteile" (zero bonds) zum Zweck der Bewertung wird als
"Strippingv bezeichnet.
3.1.1.3 Duration eines Anleihenportfolios Verallgemeinern wir die
Bewertung von coupon-bearing bonds: Ein beliebiger cashflow ist nichts
anderes als eine Menge von Zah-lungen AT,; zu bestimmten Zeitpunkten
£,,-. Der Barwert eines solchen cashflows hängt von der aktuellen
(3)
■;=i
Einen so allgemeinen cashflow erhält man z.B., wenn man ein Portfolio
von Anleihen betrachtet.
16
Prinzipiell kann sich die Zinskurve rt im Zeitablauf "frei" bewegen —
nehmen wir aber als grobe Vereinfachung einmal an, es wären nur
parallele Shifts der Zinskurve möglich; d.h., die Zinskurve kann sich
R(t,a) := R(t) + a.
Barwert =
k i .
ABarwert =
Mathematisch gesehen, haben wir hier die "infinitesimale Änderung des
Barwerts bei einem infinitesimalen parallelen Shift" ausgedrückt: Die
entsprechende relative Änderung, mit negativem Vorzeichen versehen
-ABarwert _ ^Li U ' A7^-''^
Barwert " ^ JVie-'^)
bezeichnet man als Duration des cashflows: Sie ist so etwas wie die
"durchschnittliche Laufzeit" des Portfolios. Diese einfache Kennzahl
wird in der Praxis häufig verwendet.
3.1.1.4 Zinsänderungsrisiko bei festverzinslichen Anleihen Bei
festverzinslichen Anleihen sind die Zinszahlungen fixiert: Woraus
sollte sich hier ein Zinsänderungsrisiko ergeben? Gemeint ist
natürlich das Risiko, daß sich die Marktzinsen (also die Zinskurve)
Die Überlegungen zur Duration zeigen, daß bei einer parallelen
Verschiebung der Zinskurve nach oben der Barwert sinkt.
Das ist auch "intuitiv" klar: Wenn ich vor einem Jahr ATS100.000 auf 5
Jahre zu 6% veranlagt habe, und heute könnte ich ATS100.000 auf 4
Jahre zu 8% veranlagen, dann habe ich einen Verlust (zumindest im Sinne
von entgangenem Gewinn) erlitten.
3.1.1.5 Ermittlung der Zinksurve: Bootstrapping Bisher haben wir so
getan, als wäre die Zinskurve vorgegeben, und Anleihepreise würden
sich daraus berechnen lassen. In Wirklichkeit muß aber die Zinskurve
erst aus Marktpreisen ermittelt werden, bevor man sie in der Folge für
die Bewertung von Finanzinstrumenten verwenden kann.
In der Regel kennt man kurzfristige Zinssätze aus dem
Interbankenhandel {Geldmarkt¬zinssätze) für "typische" Laufzeiten (1
Tag, 1 Monat, 3 Monate. 6 Monate, 1 Jahr).
Längerfristige Zinssätze {Kapitalmarktzinssätze) müssen aus
Bondpreisen oder Siuapsätzen rückgerechnet werden (bootstrapping).
Wir haben gesehen: Wenn Preise von Nullkuponanleihen mit verschiedenen
Restlaufzei¬ten bekannt sind, kann man die Werte der Zinskurve für
die entsprechenden Laufzeiten unmittelbar ablesen.
Etwas schwieriger ist die Sache bei Kuponanleihen: Hier wird man die
Zinskurve z.B. für 2,3.5, und 10 Jahre (stückweise linear) so
bestimmen, daß die Summe der quadrierten Abweichungen der
theoretischen Bondpreise von den tatsächlich beobachteten ein Minimum
wird ("Methode der kleinsten Quadrate").
In dem speziellen Fall, daß wir n Anleihen mit jeweiliger Restlaufzeit
von genau 1, 2,.... n Jahren und zugehörigen effektiven Kuponrenditen
ci? c2,... , c„ (das ist nicht dasselbe wie die Zins aus stattung des
Wertpapiers, die die Zinsen in Prozent des Nominale ausdrückt: Die
effektive Rendite bezeichnet die Zinsen in Prozent des Marktwerts])
kennen, können wir zunächst (Nullkupon-) Abzinsungsfaktoren Dk für
Laufzeiten von genau k = 1, 2,.... n Jahren mit der folgenden Formel
k 1
Dk = l- ck V —. . (4)
Beweis: Die Gültigkeit der Formel (4) ergibt sich aus folgender
Überlegung: Einfaches Abzinsen der cashflows aus den Kuponanleihen
liefert die Gleichungen
fc-i
(5)
für k = 1, 2,... n. Diese Gleichungen lassen sich offensichtlich
rekursiv nach Dk auflösen.
k „
" ri = ^-^. (6)
Ersetzt man die Summe in (5) durch den durch (6) gegebenen Ausdruck, so
Durch direktes Einsetzen erkennt man nun, daß die Formel (4) diese
ebenso ist die Anfangsbedingung d± = 1/(1 + c±) erfüllt. □
Aus den Nullkupon-Abzinsfaktoren gewinnt man natürlich sofort die
18
Prozent
4
4
2
2
3
Jahre
0.028
0.026
0.024
0.022
Abbildung 4: Ausgerechnete Zerorenditen
In jedem Fall ist die Zinskurve aber nur an wenigen Stützstellen
wirklich bekannt: Zinssätze, die dazwischen liegen, werden
interpoliert (z.B. einfach linear).
Rechenbeispiel 3 Seien die Kuponrenditen für die nächsten 5 Jahre
gegeben als
C! = 0.021, c2 = 0.025, c3 = 0.0275, c4 = 0.028, c5 = 0.0297. Dann
DL = 0.979432, D2 = 0.951721, D3 = 0.921551,04 = 0.895063, D5 =
n = 0.021, r2 = 0.0250502, r3 = 0.0276067, r4 = 0.0281031, r5 =
0.0298926.
Siehe dazu Abbildung Jh
Den Zinssatz für 2.75 Jahre ermittelt man nun durch lineare
r2.75 = r2 + 0.75(r3 - r2) = 0.0269676, das sind also etwa 2,1%.
3.1.2 Variabel verzinsliche Anleihen (Floating Bonds, Floaters)
Im Unterschied zu festverzinslichen Papieren werden die Zinszahlungen
bei floating bonds (floaters) nicht ein für alle Mal festgelegt,
Zum Beispiel könnte vereinbart werden, daß für jedes Vierteljahr der
jeweils gültige 3-Monatssatz gezahlt wird, d.h.: Der Käufer der
Anleihe erhält nach den ersten 3 Monaten
19
Zinsen entsprechend jenem 3-Monatssatz, der zu Beginn der 3 Monate
galt; gleichzeitig mit der Zahlung wird als Zinsatz für die nächsten
3 Monate der aktuell gültige 3-Monatssatz festgelegt (dies ist der
typische Fall: Kupontermin = Zinsanpassungstermin).
Was folgt also für die Bewertung? Gemäß einer Barwertbetrachtung ist
der Wert der Anleihe an jedem Zinsanpassungstermin (unmittelbar nach
der fälligen Kuponzahlung) ge¬nau gleich dem Nominale, denn: Zwischen
zwei Zinsanpassungsterminen ist der Zinssatz fix, die Anleihe
entspricht daher einem zero-bond (mit kurzer Restlaufzeit) mit der
au¬tomatischen Reinvestition (Wiederveranlagung) des Nominales in
einen gleichartigen, fair ausgestatteten zero-bond am Laufzeitende.
Für den Wert des Bonds ergibt sich
wobei IQ den vorangegangenen Zinsanpassungs- bzw. Kupontermin bedeutet
und R den damals fixierten Zinssatz für die folgende Periode bis ty: t
bezeichnet den Bewertungs-Zeitpunkt zwischen IQ und t^.
Bemerkung 9 Wir haben gesehen, daß die Zinskurve ja keine
"Naturkonstante" ist: Wo¬her kommen die "richtigen Zinssätze'' zu den
Anpassungsterminen, kann es da nicht zu Streitfällen kommen? — In
der Regel werden als Referenzzinsätze für die Anpassung
"un¬strittige'', wohlbekannte Sätze herangezogen: Der LIBOR (London
Interbank Offer Rate,) ist der Zinssatz, zu dem Banken einander
gegenseitig Geld borgen (es handelt sich hier um die Geldmarktsätze,
von denen schon die Rede war), etwa I-Monats-Libor, 3-Monats-Libor.
etc.
Eine Frage drängt sich hier auf: Bei der Zinskurve hatten wir gesehen,
daß "am kurzen Ende" (Geldmarkt) in der Regel niedrigere Zinsen
herrschen als "am langen Ende" (Kapi¬talmarkt). Warum sollte also
überhaupt eine Nachfrage nach derartigen Bonds bestehen? — Des
Rätsels Lösung liegt in der Risikobetrachtung: Ein floating bond
garantiert (in ei¬nem gewissen Sinn) immer die "richtigen" Zinsen: Ein
Zinsänderungsrisiko (das den Wert eines fixed bonds stark beeinflussen
kann, siehe die Überlegungen zur Duration) besteht hier ja immer nur
in der (relativ kurzen) Periode zwischen zwei Anpassungsterminen.
Bemerkung 10 Wir erwähnen eine weitere. Komplikation: Es ist zwar
absolut üblich, daß der angepaßte Zinssatz mit der Periode zwischen
zwei Anpassungsterminen übereinstimmt; dies ist aber keineswegs
zwingend: Sehr lüohl könnte beispielsweise die. sogenannte
Se-kundär-Markt-Rendite (SMRj (ein Kapitalmarktsatz-Durchschnitt) oder
(einfacher) ein 5-Jahres-Satz vierteljährlich ausbezahlt und
neuangepaßt werden. In diesem Fall würde, also zum nächsten
jy _ e0.25-(R(rj.O)-Abschlag)
(Der Abschlag kommt daher, daß der 5-Jahres-Satz ja ein
ungerechtfertigt hoher Zinssatz für die kurze Laufzeit wäre.)
20
Bemerkung 11 Was ist der wesentliche Unterschied zwischen Anleihe und
Darlehen? — Eine Anleihe ist in wirtschaftlicher Hinsicht dasselbe
wie eine Ausleihung: Der Käufer des Wertpapiers verleiht das Nominale
auf eine geiuisse Zeit für fixe oder variable Zinsen — ein
gewöhnliches Darlehen kann aber auch fix oder variabel vereinbart
werden.
Der Unterschied liegt in der praktischen Handhabung und ist sehr
Ein Darlehen ist ein Vertrag zwischen zwei Partnern — dem Kreditgeber
und dem Kredit-nehmer, der für beide Seiten bindend ist. Rechte und
Pflichten aus diesem- Vertrag können nicht ohne weiteres übertragen
werden.
bei entsprechender Li-quidität) jederzeit ge- und verkauft werden und
schafft so die Möglichkeit, mit Ausleihungen zu handeln. Insbesondere
ist ein direkter Kontakt zwischen dem Kreditgeber (Käufer der Anleihe)
und Schuldner (Emittent, Verkäufer der Anleihe) nicht mehr
erforderlich!
Dieser einfach scheinende Aspekt ist tatsächlich sehr wichtig: Die
Schaffung derartiger Handels- oder Tauschmöglichkeiten liegt vielen
sogenannten Derivativgeschäften zugrunde. Zum Beispiel zielen die
sogenannten Kreditderivate darauf ab. die Kreditrisiko-Komponen¬te aus
einem Kreditportfolio herauszulösen und zu einem handelbaren Gut zu
machen.
Ein Nebenaspekt dieser Flexibilisierung ist die Tatsache, daß auch
'kleine'' Kreditgeber sich an einer ''großen'' Ausleihung beteiligen
können, d.h., von einer Emission im- Gesamtvolu¬men von
ATS25.000.000.000 kann ein Kleinanleger ja ohne, weiteres (je nach
Stückelung) z.B. Papiere im Wert von nur ATSl0.000 erwerben. (Diese
Losgrößentransformation ist übrigens auch eine der Funktionen der
Bank, die ja ebenfalls große Ausleihungen auf viele kleine
Spareinlagen gewissermaßen aufteilt.)
3.2 Aktien (Equities)
Im Vergleich mit Anleihen sind Aktien (Equities, Substanzwerte) in
einer wesentlichen Hinsicht einfacher: Ihr Wert hängt nur von einem
Parameter ab (nämlich dem jeweiligen Aktienkurs), während Anleihen
von der Zinskurve (z.B. modelliert als 6-dimensionaler Vektor der Werte
an den Stützstellen 1 Monat. 3 Monate, 6 Monate, 1 Jahr, 5 Jahre und
10 Jahre) abhängen.
Wie bei Anleihen gibt es auch bei Aktien periodische Zahlungen: Diese
Dividenden sind aber nicht im vorhinein fixiert (sie können auch
ausfallen!) und hängen in der Regel vom wirtschaftlichen Erfolg des
Unternehmens ab. (Dies trifft allerdings auch auf Anleihen zu, wo die
an sich fix vereinbarten Zahlungen bei gravierendem wirtschaftlichen
Mißerfolg ausbleiben können).
21
3.2.1 Wandelanleihe
Eine Mischform ist die Wandelanleihe: Es handelt sich dabei um eine
Industrieanleihe, die in eine Aktie des Emittenten umgewandelt werden
kann.
Von der Bewertung her kann man das als eine Anleihe zusammen mit einer
Call-Option (dazu kommen wir später noch) auf die entsprechende Aktie
ansehen.
3.3 Devisen (Foreign Exchange, FX)
Der Wert einer Fremdwährungsposition hängt an sich nur vom aktuellen
Wechselkurs ab; komplexer wird die Sache allerdings durch die
Berücksichtigung der fremden Zinskurve (z.B. bei
Fremdwäh-rungskrediten) .
Gold wird häufig zu den Währungen gezählt, nicht zu den Rohstoffen.
3.4 Rohstoffe (Commodities)
Der Handel mit Rohstoffen (01, Kaffee. Schweinehälften, etc.) spielt
weltweit eine große Rolle: Theoretisch ist die Sache einfach: Im
wesentlichen hängt der Wert einer Rohstoff-position nur vom jeweiligen
Preis ab.
Komplizierter wird die Sache in der Praxis durch Lager- und
Transportkosten; im Zu-sammenhang mit Termingeschäften spielt auch die
Convenience Yield eine Rolle (darunter versteht man den Vorteil, den
der tatsächliche Besitz von Rohstoffen mit sich bringt).
4 Finanzinstrumente: Derivate
Eine zirkuläre Definition von Derivat wäre: Ein Derivat ist ein
Finanzinstrument, das sich auf ein Underlying bezieht.
4.1 Termingeschäfte (Forward Contracts)
Der Inhalt eines Terminkontrakts ist der Kauf bzw. Verkauf eines
Finanzinstruments auf Termin; d.h., zu einem festgelegten Zeitpunkt in
der Zukunft zu einem im voraus bestimm¬ten Preis (Terminkurs, Forward
Price). Das dem Kontrakt zugrundeliegende Finanzinstru¬ment ist hier
das Underlying.
22
Bemerkung 12 Was ist der wirtschaftliche Hintergrund derartiger
Verträge'': — Ein ty¬pischer Fall wäre z.B. ein Produzent, der
einen Auftrag aus dem- Ausland hat und dement¬sprechend eine. Zahlung
in fremder Währung zu einem- bestimmten Termin erwartet: Zur seihen
Zeit wird auch eine Darlehensrückzahlung (in heimischer Währung)
fällig, die bei den momentanen Wechselkursen durch die erwartete
Zahlung gedeckt wäre.
Das kann sich aber schnell ändern (Wechselkursrisiko,): Um nicht in
Liquiditätsschwierig¬keiten zu kommen, ist der Produzent
interessiert, den zukünftigen Deviseneingang gegen die heimische
Währung kursmäßig abzusichern (zu hedgenj, also gewissermaßen den
der¬zeitigen Wechselkurs für die. zukünftige. Transaktion
"einzufrieren'.
Stellen wir wieder die Frage nach dem "richtigen Preis" von
Terminkontrakten: Die grund-sätzliche Überlegung dazu illustrieren
wir am Beispiel eines Devisentermingeschäftes. (Ter-mingeschäfte
beziehen sich allgemein auf Rohstoffe. Zinsen, etc.)
4.1.1 Devisentermingeschäft
Der Kontrakt bestehe darin, eine Fremdwährungsposition der Größe Ar
in T Jahren zu einem festgelegten Wechselkurs c (gegen Schilling) zu
verkaufen.
Die Bewertung des Geschäfts zum Zeitpunkt T der Fälligkeit ist sehr
einfach: Sei c(T) der dann gültige Wechselkurs (Kassakurs, Spot-Kurs).
Die Erfüllung des Vertrags (Bedienung des Kontrakts) gelingt durch
Kauf der Position N am Kassamarkt (Spot-Markt) zum dann gültigen
Kassakurs und sofortigen Weiterverkauf an den Vertragspartner zum
Wert bei Fälligkeit = cN - c(T)N.
(Es ist für die Bewertung unerheblich, ob der Kauf-Verkauf
tatsächlich in der beschrie¬benen Weise stattfindet — man muß die
Frage stellen: "Um welchen Preis würde ein Marktteilnehmer in den
Kontrakt einsteigen?" )
Wie ist der Wert zu einem beliebigen Zeitpunkt t vor der Fälligkeit?
Das No-Arbitrage-Prinzip hilft hier weiter: Sei W = log(l + r-1) die
Zinskurve in der Fremdwährung, Rd = log(l + rd) die Zinskurve im
Schilling (Heimatwährung, Domestic Currency) und c(t) der Wechselkurs
zum Zeitpunkt t.
Die Erfüllung des Vertrags kann garantiert werden durch sofortigen
Einkauf von Devisen (gegen ausgeliehene Schilling) und Veranlagung
ATS Investition = c(t)Ne-Rf(T-l)(T-lK
Bis zum Zeitpunkt T wächst der eingekaufte Devisenbetrag gerade auf
die erforderliche Summe AT; entsprechend der heimischen Zinskurve
ATS Rückzahlung = c(t)Ne
23
Diese Rückzahlung müssen wir also von den Einnahmen cN abziehen, und
e-Ä«(T-i)(T-0 . ,y (c _
Den "Beweis" dafür, daß das wirklich der "richtige" Wert für das
Angenommen, der Wert wäre größer — dann könnte ich den
Terminkontrakt verkaufen (d.h., die Verpflichtung eingehen, den
Devisenbetrag Ar zum Termin T mit Terminkurs c zu verkaufen - man sagt
auch "eine Short-Position eingehen") und mit einem Teil des Erlöses
zugleich die oben beschriebene Investition tätigen: Damit ist der
Vertrag bei Fälligkeit problemlos zu erfüllen, die Differenz könnte
ich risikolos und ohne Kapitaleinsatz einstreifen: Widerspruch!
Wäre umgekehrt der Wert kleiner, dann könnte ich die Gegenseite des
Geschäfts einnehmen (also Fremdwährung auf Termin kaufen) - man sagt
auch "eine Long-Position eingehen"). Fremdwährung sofort ausborgen und
in Schilling investieren (also die oben beschriebene Strategie genau
Wi-derspruch!
(Aus Symmetriegründen brauchte ich eigentlich nur den ersten Fall
betrachten: Für einen ausländischen Investor ist ja Schilling die
Fremdwährung . .. )
Der fixierte Terminkurs (Forward Price) ist prinzipiell natürlich frei
vereinbar; er wird aber in aller Regel so bestimmt, daß der Barwert
des Geschäfts zu Beginn der Laufzeit 0 ist. so-daß die
Geschäftspartner zu Beginn keine Zahlungen austauschen (das Geschäft
ist anfangs für beide "wertlos"; was sich aber schnell ändern kann).
Für unser Devisentermingeschäft müßten wir also Formel (7) gleich
Null setzen und nach c auflösen; das ergibt
Terminkurs c = c(<)e(Ä"(T-0
4.1.2 Zinstermingeschäft: Forward Rate Agreement (FRA)
So "exotisch" sind Termingeschäfte übrigens nicht: Wenn man es recht
betrachtet, hat man mit einer festverzinslichen Anleihe quasi "Zinsen
auf Termin gekauft".
Das führt sofort zum nächsten wichtigen Termingeschäft: Die
sogenannten Forward Rate Agreements (FRAs) sind Terminkontrakte, deren
Inhalt zukünftige Ausleihungen zu einem vorher festgelegten Zinssatz
sind.
Am einfachsten kann man sich das als Zero-Bond vorstellen, der auf
Termin verkauft wird: Sei N das Nominale, T der Termin, L die Laufzeit
des Zero-Bonds und R der fixierte Zins.
Der Wert des Kontrakts zu einem beliebigen Zeitpunkt t vor dem Termin T
ergibt sich wieder mit derselben Überlegung wie zuvor: Der Vertrag ist
problemlos zu erfüllen durch
24
einen heute gekauften Zero-Bond mit Laufzeit (T + L — £), der mit
Investition = Ne
Diese Investition sichert die Bedienung des auf Termin verkauften
Bonds. Zum Zeitpunkt T bezahlt die Gegenpartei (Counterparty) das mit
fixem Zinssatz R abgezinste Nominale Ne~RL für den Bond: Dieser Betrag
muß entsprechend abgezinst werden: die Differenz ergibt den Barwert
,y <e-RL-R(T-l)(T-l) _ e-R{T+L-t)(T+L-l)\
Auch hier wird der fixierte Zinssatz R (Forward Rate) in der Regel so
egi
F ,,, ß -R(T)T + R(T + L)(T
Forward Rate R = :—
Lj
Die sogenannte Forward-Zinskurve. (Forward- Yield-Curve) besteht aus
den eben berech¬neten Forward-Rates für eine fixe Laufzeit L in
Abhängigkeit von den verschiedenen Ter¬minen T und hat eine
interessante Interpretation: In einem gewissen Sinn beschreibt sie die
Markterwartung für zukünftige Zinssätze ("Wie werden die
3-Monatszinsen in einem Jahr sein? - Aus heutiger Sicht genau gleich
den entsprechenden Förward-Raten!")
4.1.2.1 Bewertung von SMR-Floatern Diese Sichtweise kommt bei der
Bewertung von SMR-Floatern (Constant-Maturity-Bonds) zur Anwendung, die
wir in Bemerkung 10 kurz erwähnt hatten: Bei solchen Produkten
erfolgen sozusagen "falsche" Zinszahlun¬gen e^'2^1, wobei in der Regel
t± < t-2 gilt. Hier geht man für die Bewertung von den Forward-Raten
für die jeweiligen Zinszahlungen Laufzeit aus (mit einer zusätzlichen
Fein-heit: "Convexity Adjustments", siehe [4, Abschnitt 16.11]).
4.1.3 Termingeschäfte allgemein
Allen Termingeschäften ist folgendes Bewertungsschema gemeinsam: Wenn
eine Sache 5 zum Termin T um den Preis P(T) verkauft werden soll, so
muß man den Preis P(0) der Sache heute kennen, den heutigen Zinssatz
R(T) für Laufzeit T, sowie allfällige Kosten C für die Lagerung.
Versicherung, etc., der Sache bis zum Termin. Dann ergibt sich der
P(T)e-R{T)T - P(0) - C.
25
4.1.4 Futures
Für unsere theoretischen Zwecke (Bewertung. Risikomanagement) werden
Letztere sind standardisierte, börsege-handelte Terminkontrakte;
ähnlich wie Anleihen quasi standardisierte, handelbare Darle¬hen
sind.
Ein wichtiger praktischer Unterschied liegt darin, daß Gewinne und
Verluste aus Future-Positionen täglich realisiert werden: Die Börse
verlangt nämlich eine Margin (Einschuß) für Futures-Positionen. die
täglich entsprechend der Marktentwicklung angepaßt wird.
Das ist bei OTC-Termingeschäften anders: Hier wird man — wenn man
nicht aufpaßt — erst bei Fälligkeit vom wahren Ausmaß der
"Katastrophe" überrascht.
Bemerkung 13 Futures auf Underlyings. "die es gar nicht gibt".
Ihrem Wesen nach sind Termingeschäfte auf alle möglichen Underlyings
anwendbar, de¬nen ein wohlde.finie.rter Wert zuge.wiesen werden kann;
es ist nicht notwendig, daß das Underlying tatsächlich ge- und
verkauft werden kann!
Ein wichtiges Beispiel sind Index-Futures, deren Underlying ein
Aktienindex ist, also (im allgemeinen) ein gewichteter Durchschnitt von
Aktienkursen. Weil man einen Aktienindex nicht physisch liefern kann,
werden solche Kontrakte in Bargeld abgewickelt (Cash. Settle-menty),
d.h., es finden Zahlungen statt, die der Differenz zwischen dem
fixierten Indexniveau und dem tatsächlichen Indexniveau bei
Fälligkeit entsprechen.
Auch solche nach reinem Glückspiel aussehenden Konstruktionen haben
aber in der Regel einen wirtschaftlichen Hintergrund: So kann etwa der
Wert eines Portfolios aus österrei¬chischen Aktien "im Durchschnitt"
mit einem ATX-Future abgesichert (gehedgt) werden. Die Idee dabei ist.
daß die. Wertschwankungen des Portfolios Hn etwa'' gleich sind wie
die. Wertschwanklingen des Aktienindex.
4.2 Swaps
Swap bedeutet einfach Täusch: Tatsächlich findet aber in der Regel
kein Austausch von "wirklichen Dingen" statt, sondern es werden die
einem solchen Tausch entsprechenden wirtschaftlichen Auswirkungen (im
wesentlichen Zahlungen) nachgebildet. Der Swap ist dann der Vertrag,
der die entsprechenden Details enthält.
4.2.1 Zinsswaps und Cross Currency Swaps
Die wichtigsten Beispiele sind der Interest Rate Swap (IRS, Zinsswap)
und der Cross Currency Siuap (CCS).
26
Dabei wird der Täusch zweier "synthetischer Bonds" vereinbart (das
heißt, daß es die Anleihen, um die es hier geht, nicht "wirklich" in
Form von handelbaren Papieren geben muß: Die Anleihen können "frei
konstruiert" werden).
Im einfachsten Falle (Piain Vanilla) eines IRS wird ein Fixed Bond
gegen einen Floating Bond "getauscht" (man spricht daher auch vom Fixed
Leg bzw. Floating Leg des Swap), wobei die Zahlungstermine
Floating/Fixed in der Regel übereinstimmen.
Präziser: Es werden nur die entsprechenden Zahlungen getauscht; aber
das ist in wirtschaft-licher Hinsicht eben völlig gleichwertig mit dem
Austausch " wirklicher" Bonds, sodaß die Bewertung auf die
Bondbewertung zurückgeführt werden kann. Betrachten wir den Fall aus
Wert IRS = Wert Fixed Leg - Wert Floating Leg.
Ebenso einfach ist die Bewertung eines CCS, wo ein Bond in
Wert CCS = s ■ Wert Foreign Bond - Wert Schilling Bond. (Hier ist s
der aktuelle Wechselkurs.)
Bemerkung 14 Es gibt aber auch andere Swaps: Bei einem
Credit-Default-Swap wer¬den Zahlungen aus einer riskanten Ausleihung
getauscht gegen Zahlungen aus einer ver-gleichweise sicheren
Ausleihung: abstrakt gesehen werden Bonds mit verschiedenem
Bo-nitästrisiko "getauscht". (Natürlich ist für diese Form der
"Kreditversicherung'' eine Ri-sikoprämie fällig.)
4.3 Optionen
Während bei einem Termingeschäft beide Vertragspartner gleichermaßen
Rechte und Pflich¬ten haben und demselben Kursrisiko ausgesetzt sind,
ist das Risiko bei Optionen asym¬metrisch verteilt: Der Käufer der
Option erwirbt eine Art "Versicherung" , die ihn zu nichts weiter
verpflichtet als zur Bezahlung der Prämie; während der Verkäufer ein
(möglicherweise unbegrenztes) Verlustrisiko trägt.
4.3.1 Europäische Optionen
Bei einer Call-Option erwirbt der Käufer das Recht (nicht aber die
Pflicht!), zu einem festen Zeitpunkt T (Fälligkeit oder Expiry) in der
Zukunft ein Underlying (Aktien, Rohstoffe. Bonds, Indices, etc.) zu
einem festgesetzten Strike-Preis zu kaufen: Dieses Recht wird
klarerweise nur dann ausgeübt werden, wenn der tatsächliche Preis des
Underlying bei
Payoff
10
165
170
175
180
Preis
-2
Abbildung 5: Fayoff-Funktion einer Call-Option
180
Preis
Abbildung 6: Fayoff-Funktion einer Fut-Option
Fälligkeit größer ist als der Strike-Freis; die Payoff-Funktion
(Auszahlungsfunktion) in Abhängigkeit vom tatsächlichen Freis am
Fälligkeitstag ist also gegeben als
Call-Payoff = max(0, Freis bei Fälligkeit — Strike-Freis). Siehe
dazu Abbildung 5.
Bei einer Put-Option erwirbt der Käufer das Recht (nicht aber die
Pflicht!), zu einem festen Zeitpunkt T in der Zukunft ein Underlying
(Aktien, Rohstoffe. Bonds, Indices, etc.) zu einem festgesetzten
Fut-Fayoff = max(0, Strike-Freis — Freis bei Fälligkeit). Siehe dazu
Abbildung 6.
28
4.3.2 Amerikanische Optionen
Amerikanische Optionen sind europäischen ähnlich: Das Recht kann
hier aber jederzeit während der Laufzeit ausgeübt werden; nicht erst
am Ende.
4.3.3 Bewertung von Optionen
Die Frage der Bewertung ist bei Optionen wesentlich diffiziler als bei
den bisher betrachte¬ten Produkten: Akzeptieren wir vorerst den
Grundsatz, daß der Fair Value {theoretischer Wert) einer Option gleich
dem Barwert der erwarteten Auszahlung ist {risikoneutrale.
Be¬wertung).
Diesen Grundsatz kann man natürlich nicht "formal beweisen": im Rahmen
einer kurzen Skizze von "Risikotheorie" werden wir ihn aber später
etwas plausibler machen.
Das genügt aber noch nicht für eine konkrete Bewertung: Um den
Erwartungswert der Aus-zahlung tatsächlich bestimmen zu können,
müßten wir die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Preise zum
Fälliffkeitsdatum kennen.
'■£>'■
Dies kann nur bedeuten, daß wir ein plausibles Modell des
stochastischen Verhaltens der Preise aufstellen, die benötigten
Parameter aus empirischen Beobachtungen schätzen und das so erhaltene
bestimmte Integral (also den entsprechenden Erwartungswert) berechnen.
Diese Aufgabe kann recht komplex werden; beschränken wir uns hier auf
den "relativ einfachen" Fall einer Europäischen Indexoption.
4.3.3.1 Geometrische Brownsche Bewegung Das meistverwendete Modell für
den Zufallsprozeß, dem der Preis S des Underlying folgt, ist die
dS = fi S dt + aS dz. (8)
wobei z ein Wiener-Prozeß ist (d.h., dz ist eine normalverteilte
Zufallsvariable mit Mit¬telwert 0 und Standardabweichung ydt. In
diesem Zusammenhang wird die Standardab¬weichung a als Volatilität
bezeichnet.
Über die Feinheiten der stochastischen Differentialrechnung schwindeln
wir uns hier hin¬weg: Für unsere Zwecke genügt, daß aus dieser
Annahme folgt, daß die Werte zu einem zukünftigen Zeitpunkt T eine
logarithmische Normalverteilung mit Mittelwert log(S') —
ifi — ^jT und Standardabweichung a\/T haben (anders gesagt: Die
Logarithmen der zukünftigen Preise S(T) sind normalverteilt).
Dies würde für die Berechnung des bestimmten Integrals schon
genügen: Wir müssen ja
29
■'nur" die Dichte
T(ß-c2/2)2
e
y2i\TS(J
mit der Payoff-Function multiplizieren, integrieren und das Resultat
noch mit dem richti¬gen Diskontierungsfaktor abzinsen — schon haben
wir den theoretischen Wert der Option.
4.3.3.2 Die Black-Merton-Scholes-Formel Machen wir noch zwei
• Die Zinskurve ist flach: d.h. R(t) = i?(konstant).
• Der Drift /i des Prozesses stimmt mit R überein.
Dann erhalten wir die berühmte Black-S'choles-Formel, für die 1998
der Ökonomie-Nobel¬preis vergeben wurde. Wir schreiben sie so hin,
wie man sie zumeist in Lehrbüchern (siehe etwa [4. Abschnitt 11.7])
findet (Sei S der momentane Kurs. X der Strike-Preis, T die Laufzeit
(R + <J2/2)T
o\JT d-2 = d{ — o~vT.
Dann erhalten wir für europäische Call-Optionen folgenden
2 2
I ' e 2 T I i e 2
ex dx s &x.
J-oo v2?r J-CC V2TT
Bekanntlich gibt es für die Fehlerfunktion (die Verteilungsfunktion
der Normalverteilung) sehr gute numerische Verfahren, die in vielen
Programmen schon eingebaut sind: Es ist also in der Praxis nicht
schwer, die obigen theoretischen Werte am Computer zu berechnen. (Für
Aktienoptionen ergeben sich hier übrigens kleine Modifikationen wegen
der erwarteten Dividendenzahlungen.)
Hier hatten wir also "Glück": Das Integral läßt sich tatsächlich
berechnen (oder zumindest auf bekannte Funktionen zurückführen). Im
allgemeinen (insbesondere bei sogenannten Exotischen Optionen) hat man
nicht immer eine solche geschlossene Lösung; dann muß man für die
Bewertung numerische Verfahren heranziehen.
30
30
20
Optionswert 40
180 190 200 210 220 230
Kurs S
Abbildung 7: Call: A' = 200, T = 0.5, R = 0.04, o = 0.15
4.3.3.3 Nichtlineare Risken Der theoretische Wert einer Optionen ist
eine nichtli-neare Funktion in den zugrundeliegenden Parametern, man
spricht auch von nichtlinearem Risiko (im Gegensatz etwa zu dem Wert
eines Aktienportfolios, dessen Wert natürlich linear von den
Aktienpreisen abhängt).
Abbildung 7 verdeutlicht das graphisch.
Man sieht: Eine Out-of-the-Money Call-Option (d.h., momentaner Kurs
kleiner als Strike) ist relativ wenig wert: eine In-the-Money
Call-Option (d.h., momentaner Kurs größer als Strike) relativ viel.
4.3.3.4 Die "griechischen Variablen" Gewisse Ableitungendes
(theoretischen) Wer¬tes einer Option werden mit griechischen
Buchstaben bezeichnet.
Mit Delta wird die erste Ableitung nach dem Preis des Underlying
bezeichnet: Sie ist von besonderer Bedeutung, weil damit in erster
Näherung eine Option als lineare Funktion im Preis des Underlying
Man spricht daher auch von einer Umrechnung in eine delta-äquivalente
Position.
Für europäische Optionen haben wir einen geschlossenen Ausdruck,
A(Call) = / —=dx.
(Denn die beim Ableiten auftretenden weiteren Terme summieren sich auf
Null.) Mit Gamma wird die zweite Ableitung nach dem Preis des
31
r(Caii) = e
'2-KTSa
(Hier steckt die innere Ableitung
dch _ 1 ~ÖS~ Ss/Ta
drinnen.)
Die anderen "Griechen" schreiben wir nicht mehr explizit auf: Mit Rho
wird die erste Ableitung nach dem Zinssatz R bezeichnet, mit Theta die
erste Ableitung nach der Zeit T und mit Vega (kein griechischer
Buchstabe!) die Ableitung nach der Volatilität.
4.3.4 Weitere Optionen
Neben den "einfachen" europäischen oder amerikanischen Call- oder
Put-Optionen gibt es noch eine Fülle von sogenannten Exotischen
Asian Option: Payoff abhängig vom Durchschnittspreis über eine
gewisse Zeitperiode,
Barrier Option: Payoff abhängig davon, ob Preise in einer gewissen
Zeitperiode eine bestimmte Schranke erreichen.
Bermudan Option: eine Art amerikanische Option, wo die Ausübung aber
nur zu be¬stimmten Terminen möglich ist,
Chooser Option: eine Option, bei der man im nachhinein wählen kann, ob
sie ein Call oder Put ist.
Nicht für alle diese Produkte gibt es geschlossene Formeln: Bei der
Bewertung setzt man dann numerische Verfahren ein (z.B.
Monte-Carlo-Simulation). ebenso bei der Berechnung der "Griechen".
Dies trifft insbesondere auf pfadabhängige Optionen zu, wo der Payoff
von Ereignissen während der Laufzeit abhängt (also vom "Pfad der
Kursentwicklung "), und auf Zinsoptio¬nen, bei denen schon die
adäquate Modellierung des mehrdimensionalen Risikoparameters
"Zinskurve" schwieriger ist.
Eine Swaption ist schlicht eine Option auf einen Swap.
32
5 Risiko: Theorie und Praxis
Was versteht man eigentlich unter Risiko? Wenn wir vom normalen
Sprachgebrauch aus¬gehen, dann bezeichnet man eine Unternehmung dann
als riskant, wenn sie zwar die Gefahr eines negativen Ausgangs birgt,
aber dennoch sehr wohl auch gutgehen könnten: Eine Sa¬che, deren
Ausgang mit absoluter Sicherheit (unerachtet ob gut oder schlecht)
feststeht, wird nicht als riskant angesehen.
Dabei verwendet man Risiko meist nur in dem Sinne, daß ein Nachteil
eintreten kann: Der "duale" Begriff wäre Chance, also die
Möglichkeit, daß ein Vorteil eintritt: Abstrakt gesehen sind das aber
einfach die beiden Seiten derselben Medaille "Unsicherheit".
Mathematisch ausgedrückt, geht es also um Wahrscheinlichkeitstheorie
oder Statistik: Sie liefern hier die geeigneten Begriffe und Methoden.
Für unsere Zwecke können wir die Sache noch weiter eingrenzen: Als
Auswirkungen ris¬kanter Tätigkeiten könnte man im allgemeinen man ja
auch Unfälle oder Krankheiten etc. ansehen — im finanzmathematischen
Zusammenhang geht es aber immer (nur) um finan¬zielle Gewinne und
Verluste. Wenn also zum Beispiel das Zinsänderungsrisiko, das wir bei
den Anleihepreisen schon erwähnt hatten, zu einem Preisverfall der
Anleihen führt, so in¬teressiert uns hier nur der dadurch entstandene
Verlust und nicht allfällige Folgewirkungen oder Nebeneffekte.
Risikofreihe.it wäre das völlige Fehlen jeder Möglichkeit für
Gewinne und Verluste: Das ist praktisch unmöglich.
Sehr wohl ist es aber möglich, finanzielle Risken zu "verkaufen"
(versichern): Dies ist das Wesen des Versicherungsgeschäfts. Im
Finanzwesen spielen die Derivate (Termingeschäfte und Optionen, neben
"konventionellen" Bankgeschäften wie Haftungsübernahmen, Garan¬tien,
etc.) die Rolle solcher Versicherungen: Genau damit beschäftigen wir
uns hier.
5.1 Risikofaktoren
Die Einengung unseres Risikobegriffes hat eine einfache Konsequenz: Von
den tatsächlichen Ursachen der Gewinne und Verluste können wir in
einem gewissen Sinn abstrahieren — sie erscheinen nur mehr als
Risikofaktoren, die das stochastische Verhalten der einzigen Variable
beeinflussen, die uns interessiert: Den Wert des Portfolios.
Die Ursachen (Risikofaktoren) für einen finanziellen Verlust sind
• Marktrisiko: Der Marktpreis von Gütern und Finanzinstrumenten
schwankt und kann den Wert einer Position daher auch negativ
beeinflussen. Innerhalb des Mark-trisikos unterscheidet man noch
- Zinsänderungsrisiko
33
— Wechselkursrisiko
- Aktienkursrisiko
• Kreditrisiko: Schuldner können ausfallen oder auch nur eine
Bonitätsverschlechterung
aufweisen und dadurch einen Verlust verursachen.
• Betriebsrisiko: Fehler und "menschliches Versagen" bei der
Geschäftsabwicklung
können Verluste verursachen.
• Liquiditätsrisiko: Mangelnde Liquidität (also die Unmöglichkeit,
eine Position rasch
zu ändern oder Geld aufzunehmen) kann zu Verlusten führen.
• Rechtsrisiko: Fehleinschätzungen der rechtlichen Lage (bzw. eine
unsichere Rechts¬
lage) können Verluste verursachen.
5.1.1 Allgemeine Aufgabe Risikomessung
Aus dem bisher Gesagten können wir eine sehr allgemeine zweistufige
1. Modellierung des stochastischen Verhaltens der Risikofaktoren.
2. Beschreibung der Auswirkungen der Risikofaktoren auf den
Portfoliowert.
Hier beschäftigen wir uns nur mit Marktrisiko und Kreditrisiko: Die
eben geschilderte "Grundaufgabe" wollen wir mit einem ganz schlichten
Beispiel zum Thema Marktrisiko illustrieren.
Beispiel 4 Schritt 1: Stochastisches Verhalten
Es gebe zwei Güter A und B mit Preisen P\ und Pß- Die
Preisänderungen APA = (Py^morgeri) — PA(heute)) und APß =
(PB{fnorgen) — Pß (heute)) von heute, auf morgen sind die relevanten
Risikofaktoren: Wir nehmen an. sie haben eine gemeinsame
Normal¬verteilung mit Mittelwert (0,0) und Kovarianzmatrix
2 -1 -1 1
Um das graphisch anschaulich zu machen, führen wir die
2 -1 -1 1
34
DPA
Abbildung 8: Zufallszahlen APA, APB
Damit erzeugen wir auf dem Computer Zufallszahlen, die dieser
Verteilung gehorchen, und stellen diese Zahlen graphisch dar. siehe
Abbbildung 8. Deutlich erkennbar ist die negative Korrelation.
Beispiel, Schritt 2: Portfoliobewertung
Das eben modellierte Auf und Ab von Güterpreisen verursacht für sich
allein keine Gewinne oder Verluste: Erst wenn wir ein Portfolio
betrachten, das die Güter A oder B beinhaltet, tritt ein finanzielles
Risiko auf.
Nehmen wir also an. unser Portfolio umfaßt 600 Einheiten von Gut A und
400 Einheiten von Gut B: Der Portfoliowert ist dann schlicht
Die Bewertung des Portfolios bildet die mehrdimensionale (multivariate)
Zufallsvariable (APA,APB) ab auf eine eindimensionale Zufallsvariable,
nämlich Gewinne und Verluste. Deren "empirische'' (Computersimulierte)
Nun nehmen wir an, daß unser Portfolio aus 2 merkwürdigen Optionen
auf die Güter A (long) und B (short) besteht, deren Wertänderung
600AP| + 400 APf.
Die "empirische" Verteilung können wir uns wieder ansehen (siehe
35
Wahrscheinlichkeit
1 ^ .
0 8
0 6
Ä
2
-2000 -1000 1000
GuV
Abbildung 9: Gewinne/Verluste
Wahrscheinlichkeit
1
0 8
0 6 /
0 4
0
-2000-1000
1000 2000 3000 4000
GuV
Abbildung 10: Gewinne/Verluste
36
Mit einem Blick erkennt man, daß die beiden Portfolios ein recht
unterschiedliches Ri¬sikoprofil haben: Unter Risikomanagement versteht
man — abstrakt betrachtet — die. Überwachung und "Gestaltung''
solcher Risikoprofile: zu genau diesem- Zweck sind u.a. Derivate
erfunden worden, sowohl im Marktrisiko- wie im Kreditrisikobereich.
5.2 Risikomaße
Den Begriff Risiko bzw. Risikoprofil haben wir eben mit dem
statistischen Begriff Verteilung in Zusammenhang gebracht. Für
praktische Zwecke wünscht man sich aber eine einfache Kennzahl, mit
der Risiko quantifiziert werden kann: Es ist also kein Wunder, daß man
in diesem Zusammenhang die einfachen Kennzahlen statistischer
Verteilungen verwendet.
5.2.1 Er wart ungs wert
Der Erwartungswert wird in vielen Fällen zur Preisfindung für Risken
herangezogen — auch bei der Bewertung von Optionen sind wir davon
ausgegangen (risikoneutrale Bewertung!), obwohl er als "Meßgröße"
überhaupt nicht zwischen Zufallsvariable unterscheidet, die
"in¬tuitiv" ein sehr unterschiedliches Risikoprofil bedeuten. Das ist
immer dann (halbwegs) vertretbar, wenn man sich auf das Gesetz der
großen Zahlen verlassen kann.
Beispiel 5 Als kleines Beispiel sehen wir uns einmal an, wie der
Anspruch auf eine Al-terspension versicherungsmathematisch berechnet
wird (in groben Zügen): Dazu werden statistische Daten (Sterbetafeln^
verwendet, die. die (empirisch beobachtete) Wahrschein¬lichkeit
angeben, daß eine. Person genau im x-ten Lebensjahr stirbt. Zum
Beispiel waren diese Wahrscheinlichkeiten für Frauen zwischen 55 und
p55 = 0.002489, p,56 = 0.002713, p57 = 0.002947, p58 = 0.003208, pio.3
= 0.414329, pi04 = 0.433264, p105 = 0.45294, p106 = 1.0
Unter der Ausscheideordnung versteht man dann das Aussterben eines
Kollektiv^ = 1000000, Kollektiv, = Kollektiv, _i{l — px-i),
siehe Abbildung 11.
Der (v er Sicherung smathematis ehe) Barwert einer jährlichen Pension
von 100000 für eine 55-jährige Pensionistin ist dann der
Erwartungswert der mit einem konstanten Rechnungs-zinsfuß abgezinsten
A(. 1000000 (1 +0.06p-55
x—oo
Kollektiv, 1000000
Personenzahl
1-106
800000 600000 400000 200000
10 20 30 40 50
Zeit
Abbildung 11: Ausscheideordnung 55-jähriger Frauen
Eine Pensionskasse verläßt sich tatsächlich darauf, daß sie — in
unserem Beispiel — die. zugesagte. Pension im Durchschnitt nur etwa
1^. Jahre, lang zahlen muß.
Dieses Beispiel enthält bereits eine ganz einfache Grundidee, die man
auch für Kreditri-sikoschätzung verwenden kann: Dazu brauchen wir ja
nur die Sterbewahrscheinlichkeiten als Ausfallswahrscheinlichkeiten
umdeuten!
5.2.2 Varianz bzw. Standardabweichung
Die Varianz a2 ist eine statistische Kenngröße: Sie gibt bekanntlich
a2 = E{X - E{X)f. Die Standardabweichung o ist die Quadratwurzel aus
der Varianz.
Es ist anschaulich klar, daß die Varianz bzw. Standardabweichung
erheblich mehr über den "Risikograd" aussagt als der Erwartungswert;
siehe etwa Abbildungl2.
Die Standardabweichung wird tatsächlich häufig als Maß für Risiko
verwendet; sie ist für praktische Zwecke auch relativ einfach zu
schätzen.
5.2.3 Value at Risk
In der Praxis interessieren wir uns "nur" für das (Verlust-)Risiko
eines Portfolios, also für die Gefahr, mit einer Investition in
verschiedene Finanzinstrumente schlecht abzuschneiden wegen "adverser
Kursentwicklungen" (Marktrisiko): Die Varianz hingegen mißt Chancen
wie Risken in gleicher Weise: insbesondere für asymmetrische
Verteilungen erscheint sie daher als Risikomaß nicht ideal.
38
20
22
24
4 -
Abbildung 12: Normalverteilung: er = 0.1, 0.5, 1, 2
Wenn man an allgemeine Wahrscheinlichkeitsverteilungen denkt, dann ist
folgender Begriff sehr naheliegend: Wir wählen ein Konfidenznive.au,
also eine (meistens hohe) Wahrschein-lichkeit und betrachten jenen
Verlust Q, der mit dieser Wahrscheinlichkeit nicht übertroffen wird;
p (Verlust > — Q) = Konfidenzniveau.
(9)
Diese Quantile (oder Perzentile.) a der Statistik werden in diesem
Zusammenhang als Value-at-Risk bezeichnet: Dieser sehr einfache Begriff
spielt in der Praxis eine große Rolle.
Für lineare Risken, deren Risikofaktoren normalverteilt sind, ist die
Berechnung im wesentlichen äquivalent mit der Varianzschätzung; im
allgemeinen muß man aber zu numerischen Verfahren greifen
(Monte-Carlo-Simulation, historische Simulation).
5.2.3.1 Zusammenhang Varianz/Value-at-Risk In finanzwirtschaftlichen
Lehr-büchern findet man Value-at-Risk manchmal definiert als
"Konstante mal Standardab-weichung" : Dies kommt daher, daß man den
Value-at-Risk für normalv erteilte Werte tatsächlich einfach mit der
Standardabweichung ausdrücken kann; z.B. ist ja für eine
normalverteilte Zufallsvariable N[^,a) die Wahrscheinlichkeit, daß ein
Wert unterhalb {ß — 2.33a) angenommen wird, gerade
--2.33
'27T J-o,
= 0.00990308,
also etwa 1%. (Diese Quantile oder Perzentile der Normalverteilung sind
in Tabellen in Statistik-Lehrbüchern enthalten.)
Anders ausgedrückt: Wenn die Wertänderung normal verteilt ist mit
Mittelwert /u- und Standardabweichung er, dann ist der Value-at-Risk
zum Konfidenzniveau 99% (ungefähr) (ß- 2.33a).
39
5.2.4 Konkrete Berechnung des Value atRisk
Wie schon bei der Optionsbewertung (Fair Value = erwarteter Payoff)
haben wir zunächst ein allgemeines "Rezept" angegeben
(Value-at-Risk=Quantil der Wertverteilung), das erst durch geeignete
Annahmen quasi konkretisiert werden muß: Die "Verteilung des
zukünftigen Portfoliowertes" ist ja zunächst natürlich nicht
bekannt, sie muß durch plau¬sible Verfahren "geschätzt" werden.
Zunächst könnte man auf die Idee kommen, direkt eine Zeitreihe
vergangener Portfoliowerte zu untersuchen und daraus gewisse Schlüsse
zu ziehen: Das ist aber nicht praktikabel, denn ein Portfolio wird ja
(in der Regel) laufend verändert, sodaß eine hinreichend weit
zurückreichende Zeitreihe für solche "direkten" Schätzungen nicht
zur Verfügung steht.
Anders ist die Situation hingegen bei den Risikofaktoren (Preisen und
Kursen): Hier gibt es (meistens) lange Zeitreihen, aus denen man
Mittelwerte. Standardabweichungen, etc. empirisch schätzen kann. In
der Praxis finden wir also tatsächlich die "Allgemeine Aufgabe der
Risikomessung" in der Weise vor, wie wir sie in Abschnitt 5.1.1
Gegeben (bzw. angenommen) sei eine (mehr oder weniger gut bekannte)
gemeinsame Verteilung F(x\_,X2, ■ ■ • ) der für ein Portfolio
relevanten Risikofaktoren x\_,X2: ■ ■ ■ (Akti¬enkurse, Zinsen,
Wechselkurse, etc.). Jeder Realisierung von Risikofaktoren entspricht
ein Portfoliowert V(xi, x%,...). Als einheitliches Maß für Risiko
verwenden wir ein Quantil (zu einem vorgewählten Konfidenzniveau) der
Verteilung der (eindimensionalen!) Zufalls¬variable V = V{xi,X2,
■■■)'■ Dieses Quantil wird als Value-at-Risk (zum vorgegebenen
Konfidenzniveau) bezeichnet.
Eine Sache ist in der Praxis noch zu beachten: Wir müssen auch einen
Zeithorizont für die Veränderungen des Portfoliowerts angeben! —
Klarerweise kann sich der Wert in einem Jahr stärker ändern als in
einem Tag. Dieser Zeithorizont wird in diesem Zusammenhang als
Haltedauer bezeichnet: Man geht nämlich davon aus. daß man Positionen
eine gewisse Zeitlang halten muß. ehe man sie vollständig auflösen
(glattstellen) kann, wenn der Markt sich negativ entwickelt.
Ein methodisch besonders einfaches Verfahren zur Berechnung ist die
5.2.4.1 Historische Simulation Alle Kenntnis über die "tatsächliche"
Verteilung von Risikofaktoren (Preisen und Kursen) kann ja nur aus
Statt eines parametrischen Ansatzes wie beim Varianz-Kovarianz-Modell
(Annahme Nor-malverteilung mit unbekannten Parame.te.rn /i und o\
emprische Schätzung dieser Para¬meter) könnte man ja auch gleich die
historischen Zeitreihen selbst heranziehen und das aktuelle Portfolio
damit neu bewerten!
Beispiel 6 Wir "recyceln" nun die "pseudo-historischen" Daten, die
wir zuvor schon er¬zeugt haben, und nehmen an, diese Daten wären
historisch beobachtete Preisveränderungen
40
PX
200
190
180
20 40 60 80 100 120 140
Zeit
x
Abbildung 13: "historische Daten" P
20 40 60 80 100 12 0 140
Zeit
Abbildung 14: "historische Daten" Py
für zwei Rohstoffe X und Y in unserem Portfolio: d.h.: Die
tatsächlichen Preise zu einem Stichtag 0 waren Px(0) = 170.0 und Py(0)
= 260.0; sie entwickelten sich im- Zeitablauf gemäß Px(t + 1) = Px(t)
+ APA und. PY(t + 1) = Py(t) + APB: Die Abbildungen 13 und 14 zeigen
wieder die negative Korrelation, die wir unseren Zufallszahlen
aufgeprägt haben.
Berechnen wir nun die Wertveränderungen, die ein Rohstoffportfolio von
680 Einheiten X und 72 Einheiten Y in den letzten 1000 Tagen mitgemacht
hätte: Hier ist also die Funktion V(Px, Py), die den Wert des
Portfolios in Abhängigkeit von den Risikofaktoren Px und Py
(Pseudo-Rohstoff-Preise.) angibt, eine lineare Funktion: V(Px,Py) =
680Px + 72Py. Die Wertentwicklung des Portfolios zeigt Abbildung 15.
Wenn wir uns also für die Schwankungen im Wert von einer Woche auf die
nächste inter¬essieren (d.h., Haltedauer 7 Tage), dann müssen wir
die Differenzen Wert(t) — Wert(t — 7) befrachten: Abbildung 16
zeigt diese Änderungen.
41
VHPX,PYL
20 40 60 80 100 120 140
Zeit
Abbildung 15: "historische Daten" V(PX,PY)
Zeit
Abbildung 16: "historische Daten" L±V . Haltedauer
42
Zeit
Abbildung 17: "historische Daten" AV. Haltedauer 1
Das Quantil zum Konfidenzniveau 95% ist leicht zu bestimmen: Dazu
müssen wir nur die. erhaltenen Wertänderungen aufsteigend sortieren
und das "richtige" (in unserem Fall: das 50-te) Element bestimmen: in
unserem Beispiel ergibt sich —4145.94.
Um den Effekt der Haltedauer zu illustrieren: Wenn wir uns aber für
die Schwankungen im Wert von einem Tag auf den nächsten interessieren
(d.h., Haltedauer 1 Tag), dann müssen wir die Differenzen Wert{t) —
Wert{t — 1) betrachten: Abbildung 17 zeigt diese Änderungen.
—1473.28
5.2.4.2 Varianz-Kovarianz-Methode Wir können auch einen parametrischen
An¬satz verfolgen: D.h., wir nehmen an. daß die Risikoparameter eine
gemeinsame Normal¬verteilung haben, die ja durch die Parameter
Mittelwert und Kovarianz bestimmt ist, und schätzen dann diese
Parameter (Vektor der Mittelwerte und Kovarianzmatrix) aus
histo¬rischen Daten.
Nehmen wir weiters an, daß der Portfoliowert eine lineare Funktion der
zugrundeliegenden Risikofaktoren pi,p2, • • • ->pn ist: Yl'i=i_Pi
' -^«- (Dies ist z.B. dann der Fall, wenn die Ri-sikofaktoren
Rohstoffpreise sind, und das Portfolio nur Kassa-Positionen der Größe
X± in diesen Rohstoffen enthält — also keine Optionen!)
Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß die Mittelwerte der
Preisänderungen alle Null sind: Dann ist die Portfoliowert-Anderung
als Linearkombination normalverteilter Zu¬fallsvariablen selbst wieder
normalverteilt mit Mittelwert 0, und die Varianz kann unter Verwendung
o1 =
(10)
43
Der Value-at-Risk zum Konfidenzniveau 1% wäre dann also einfach 2.33a.
Diese häufig anzutreffende Formel ist aber nur unter den genannten
einschränkenden An-nahmen wirklich richtig. Bei sogenannten
nichtline.are.7i Risken (z.B. Optionen) macht man häufig
"Gamma-Adjustments", um die Sache zu reparieren: d.h.. man entwickelt
die Optionspreisfunktion unter Verwendung der ersten (Umrechnung in die
delta-äquivalente Position) und zweiten Ableitung (Gamma) in eine
quadratische Näherungsformel (man spricht hier auch von der "
Delta-Gamma-Methode") und kommt so zu einer etwas kom¬plizierteren
Formel für die Varianz (unter Verwendung der wohlbekannten Momente der
Normalverteilung).
Etwas schwieriger wird die Angelegenheit, wenn man die Logarithmen der
Preise als nor-malverteilte Risikofaktoren annimmt: Dann sind
natürlich auch schon die Werte einfacher Kassapositionen nichtlineare
Funktionen in diesen Risikofaktoren. (Die logarithmische
Nor-malverteilung ist u.a. auch deshalb so "beliebt", weil dabei keine
negativen Preise möglich sind: was mit den empirischen Beobachtungen
übereinstimmt.)
Trotz dieser Schwierigkeiten ist die Varianz-Kovarianz-Methode recht
häufig: Die Berech¬nung der Varianz einer Linearkombination von (im
allgemeinen) quadratischen Funktionen von normalverteilten
Zufallsvariablen wird dann argumentativ kombiniert mit dem Zentra¬len
Grenzwertsatz, also mit der Annahme, daß der Portfoliowert
asymptotisch normalver¬teilt ist (siehe etwa [7, Satz 39.2]), womit
die Gleichsetzung "Value-at-Risk = Konstante mal Standardabweichung"
(in einem gewissen Sinn) gerechtfertigt ist.
5.2.4.3 Risikominderung durch Diversifikation Ein Aspekt der Formel
Wie man leicht sieht, werden Investitionen in unkorrelierte oder
negativ korrelierte Instrumente die Varianz (und damit "im
wesentlichen" das Risiko) des Portfolios vermindern.
Dieser ganz einfache Gedanken spielt in der Praxis tatsächlich eine
große Rolle.
Dazu stehen uns zwei Investitionsmöglichkeiten A und B zur Verfügung,
deren Wertänderungen identisch und unabhängig normalverteilt (also
unkorreliert) sind mit Mittelwert ß und Standardab¬weichung a.
Wenn wir alles in A investieren, ist die Wertänderung unseres
Portfolios wieder normal-verteilt mit Standardabweichung (Risiko) N ■
o~.
Teilen wir unser Investment hingegen auf A und B gleichmäßig auf. so
ist die Wertänderung des neuen Portfolios wieder normalverteilt —
N ■ a
44
Diversifikation hat also das Risiko vermindert.
5.2.4.4 Monte-Carlo-Simulation Monte-Carlo-Simulation kann man
sozusagen als Mischung von Varianz-Kovarianz-Methode und historischer
Zunächst werden wieder Mittelwerte und Kovarianzen aus historischen
Daten geschätzt.
Dann werden mit Zufallszahlen-Generatoren künstliche Daten mit den
gewünschten Ver-teilungseigenschaften erzeugt (genauso wie wir das
zuvor ja auch bei unserem Beispiel zur historischen Simulation gemacht
haben).
Zum Schluß wird wieder das gewünschte Quantil ermittelt (wie bei der
historischen Simu-lation) .
5.2.4.5 Quasi-Monte-Carlo-Methoden Die Erzeugung von "guten"
Zufallszahlen ist ein auch theoretisch interessantes Gebiet: Hier gibt
es neuere Forschungen, die auch schon ihren Weg in nnanzmathematische
Anwendungen gefunden haben: Man bezeichnet diese Verfahren als
Quasi-Monte-Carlo-Methoden.
5.2.4.6 Praktische Probleme Die grundlegenden Konzepte sind, wie man
sieht, ma¬thematisch sehr einfach: Man darf aber nicht verschweigen,
daß in der Praxis mannigfache Probleme (nichtmathematischer Art)
auftreten: Schon das Schätzen der Parameter kann sich als sehr
schwierig erweisen, wenn die zur Verfügung stehenden Zeitreihen von
man¬gelnder Qualität sind (falsche Daten, fehlende Daten). Oft gibt
es auch EDV-bedingte Schwierigkeiten bei der Portfolioerfassung.
6 Technische Analyse
Technische Analyse ist ein UberbegrifF, der sehr unterschiedliche
Methoden und Ansätze für ein Investieren nach festgelegten Regeln
umfaßt, die einzig auf dem Verlauf der Preiszeitrei¬hen (Charts) der
interessierenden Investitionsmöglichkeiten (Aktien, Rohstoffe,
Derivate) beruhen: Man spricht daher auch von Chartanalyse.
"Festgelegte Regeln" soll hier bedeuten: Die Verfahren, die verwendet
werden, sind for-malisiert (algorithmisch), sodaß sie in einem
Computerprogramm implementiert werden können: Man spricht daher auch
von computerunterstütztem Handel.
Die Grundidee ist sehr einfach (und sehr verlockend, daher das große
Interesse an diesem Gebiet): Man wünscht sich ein Verfahren, das als
Input gewisse Zeitreihen (Marktpreise, Zinsinformationen) akzeptiert
und als Output Kaufs- und Verkaufssignale für gewisse
Fi-nanzinstrumente erzeugt, die — zumindest im Durchschnitt — "gute
Investmententschei-dungen" sind, also Gewinne bringen.
45
Kauf /Verkauf
Charts \^ (Zeitreihen) Ch
Black Box
Abbildung 18: Technische Analyse — Black Box
Wenn wir zunächst nichts über dieses "signalerzeugende Verfahren"
wissen, können wir uns das als Black Box vorstellen entsprechend
Abbildung 18.
Im folgenden betrachten wir ein paar ausgewählte Beispiele für
derartige Verfahren: Tat-sächlich gibt es dutzende, wenn nicht
hunderte verschiedene Ansätze, die mehr oder weniger plausibel
aussehen (manche davon allerdings etwas obskur), und die von
Marktteilnehmern ausprobiert werden.
6.1 Moving Averages — Gleitende Durchschnitte
Sei (pi)i>i eine Zeitreihe (Folge reeller Zahlen; der laufende Index t
wird als Zeit — meist in Tagen — interpretiert). Ein Gleitender
Durchschnitt (Moving Average) der Länge n ist der Mittelwert von n
aufeinanderfolgenden Gliedern pt-n+LiPi-n+2; ■ ■ ■ ,Pi- WTir
können also die Zeitreihe der gleitenden Durchschnitte
MA(n,p) :=
betrachten.
Mehrere simple Verfahren der technischen Analyse basieren auf
gleitenden Durchschnitten.
6.1.1 MACD
Wir betrachten eine Zeitreihe von täglichen Preisdaten. Der "Moving
Average Diver-gence Convergence""-Indikator (MACD) einer Folge
(Zeitreihe) p ist einfach die Differenz MA(26,p) - MA(12,p); also die
Folge
26
O26
12
O26
Dazu betrachtet man noch einen gleitenden Durchschnitt MA(9,p) als
• Kauf, wenn der MACD über die Signallinie steigt.
46
• Verkauf, wenn der MACD unter die Signallinie fällt.
6.1.2 Bollinger Bänder
Darunter versteht man wieder einen gleitenden Durchschnitt, um den
herum ein "Band" abhängig von der momentanen Volatilität gelegt wird.
Sei also wieder (pi)t>i eine Folge re¬eller Zahlen; wir betrachten die
Zeitreihen MA(n.p)i>2n und die "gleitenden Volatilitäten"
MV{n,p) : =
Dann wählt man noch eine feste Konstante D und definiert den
MA(n,p) ±D-MV{n,p)
Die Ableitung von Kaufs- und Verkaufssignalen aus dieser Konstruktion
ist schon etwas unpräziser gegeben als vorhin beim MACD und beruht auf
• Scharfe Preiskorrekturen ergeben sich, wenn das Band "enger" wird,
• Wenn die Preise das Band verlassen (das kann natürlich
vorkommen!), dann wird der
momentane Trend beibehalten.
• Minima und Maxima außerhalb des Bands, gefolgt von Minima und
Maxima in-
nerhalb des Bands werden von einer Trendumkehr (also steigend zu
fallend, oder
umgekehrt) gefolgt,
• Eine Auf- oder Abwärtsbewegung, die am "Rand" des Bandes beginnt,
wird bis zur
Erreichung des anderen "Randes" fortgesetzt.
Auch diese Behauptungen ließen sich im Prinzip in einer formalisierten
Weise in Kaufs¬und Verkaufssignale übersetzen.
6.2 Relative Strength Index
Eine weitere Ableitung aus einer Preiszeitreihe p ist der Relative,
Strength Index (RSI): Hier betrachtet man die durchschnittlichen
Aufwärtsbewegungen und Abwärtsbewegungen über einen gewissen
Zeitraum, also etwas in der Art von
lA
fr = - > X{Pt-i+i > Pi-i) iPi-i+i. ~ Pi-i) i n *7^
lA
(Dabei soll x{exPr) die "Wahrheitsfunktion" bedeuten, die den Wert 1
annimmt, wenn expr zutrifft, sonst 0.)
Der RSI ist dann definiert als
100-
• Der RSI erreicht Maxima und Minima vor der zugrundeliegenden
Zeitreihe p,
• Wenn die zugrundeliegenden Preise neue Maxima oder Minima
erreichen, ohne daß
auch der RSI dasselbe tut, dann erfolgt eine Trendumkehr in Richtung
des RSI.
Auch hier könnte man diese Behauptungen geeignet formalisieren und in
eine algorithmi¬sche Erzeugung von Kaufs/Verkaufs-Signalen
übersetzen.
6.3 Elliot Wave Theory, Fibonacci—Analysen, etc.
Man sieht schon: Die Sache hat ein bißchen etwas von einer obskuren
Die sogenannte Elliot Wave Theory z.B. basiert auf dem Glauben, daß
sich Preiszeitreihen quasi aus "ineinandergeschachtelten" Grundmustern
(Wellen) zusammensetzen (offenbar ein ähnlicher Gedanke, wie er auch
in der Chaostheorie eine Rolle spielt), bei denen die Fibonacci-Zahlen
Fo = 0, Fl = 1, Fn = Fn_! + Fn_2 für n > 2 den "Rhythmus" vorgeben.
6.4 Betrachtung aus mathematischer Sicht
Keinesfalls soll der Eindruck erweckt werden, die oben beschriebenen
Verfahren wären brauchbare Anleitungen, um an Aktien- oder
Warenmärkten Geld zu verdienen: Die mei¬sten dieser "Methoden"
funktionieren nicht — es ging hier nur um ein paar Beispiele, damit
man sich etwas unter "Technischer Analyse" vorstellen kann.
Trotzdem ist die Idee, durch ein "geniales System" die Märkte zu
Nicht nur Fondgesellschaften auf den Cayman Islands versuchen ihr
Glück mit derartigen Modellen, auch in vergleichsweise konservativen
Banken gibt es gelegentlich kleine Teams, die sich mit Technischer
Analyse beschäftigen.
Es treten aber (zumindest) zwei Fragen in diesem Zusammenhang auf, die
48
• Es ist ja nicht ausgeschlossen, daß Preiszeitreihen gewissen
(statistischen) Gesetz¬
mäßigkeiten folgen: Man kann daher die Frage stellen, wie solche
Gesetzmäßigkeiten
aussehen könnten, und wie man sie durch Beobachtungen und empirische
Untersu¬
chungen herausfinden könnte.
Diese Frage führt einerseits zur Zeitreihenanalyse: Diese
mathematisch-statistische Disziplin beschäftigt sich mit Modellen und
Schätzverfahren für Zeitreihen (und ist im Gegensatz zur Technischen
Analyse ein durchaus präzises, wissenschaftliches Ge¬biet).
Andrerseits kann man die Frage so verstehen, daß hier möglicherweise
Dies führt auf das Gebiet der Artificial Intelligence (z.B. Neuronale
Netze).
• Eine sehr interessante Frage ist die der Rückkopplung: Wenn in
einem Markt viele
Teilnehmer sind, die mit Methoden der Technischen Analyse
Investmententscheidun¬
gen treffen, dann sollte durch die Veränderung von Angebot und
Nachfrage eine
interessante Dynamik entstehen, die wahrscheinlich nicht leicht zu
analysieren ist.
Diesen Weg werden wir hier aber nicht weiter verfolgen
7 Zeitreihenanalyse
Wieder will und kann ich hier nicht in alle Details einsteigen: Für
unsere Zwecke soll es genügen, ein paar typische Fragen und Methoden
anzudeuten, damit man ein erstes Bild von der Sache gewinnt: Kenntnisse
aus Linearer Algebra und etwas Funktionalanalysis und
Wahrscheinlichkeitstheorie sind an dieser Stelle nützlich. (Wer tiefer
in diese Thematik einsteigen möchte, sei auf das Buch von
Brockwell/Davis [2] verwiesen.)
7.1 Stationäre Zeitreihen
Für beliebige Zufallsvariablen X und Y gilt nach der
Cauchy-Schwarzschen Ungleichung
Ist X quadratisch integrierbar, so folgt E(|Ä'|) < y^E (1)y^E (X'2) <
oo, daher sind sowohl der Erwartungswert E(Ä') als auch die Varianz
var (X) := E((X — E(A'))2) endlich.
Sind X, Y beide quadratisch integrierbar, so folgt
E(|(X - E(X))(Y - E(Y))\) < y/E((X - E(A'))2)^E((Y - E(Y)f),
49
somit ist die Kovarianz cov (A, Y) := E((A - E(A))(Y - E(Y)))
endlich und es gilt cov (A, Y) < v/var(X)v/var(Y).
Schließlich definiert man die Korrelation zweier quadratisch
(vv, cov(A,Y)
corr(A, 1) := —^=
Es gilt also stets |corr (A", Y)\ < 1. Die Korrelation ist ein Maß
für die lineare Abhängigkeit zwischen zwei Zufallsvariablen: Man kann
nämlich zeigen, daß die Beziehung corr (A, Y) = 1 genau dann gilt,
wenn wenn Y = a ■ X + b für geeignete Zahlen o / 0,5 gilt.
Wir haben vorhin schon den Begriff Zeitreihe verwendet; nun wollen wir
ihn exakt definie¬ren: Eine Zeitreihe ist eine Folge von quadratisch
integrierbaren Zufallsvariablen (Xt)leT (TCZ).
Beispiel 8 Eine. Folge, unkorrelierter Zufallsvariablen WL mit
Mittelwert fi und Varianz a2 nennt man weißes Rauschen (white noisej.
Unkorreliert bedeutet, daß cov (Wt, Ws) = Ss.iO~2.
Beispiel 9 Eine. Irrfahrt ist die Folge, der Partialsummen von weißem-
Rauschen: It Yli=oWi- Hier erhält man
E (/,) = tß, cov (It, Is) = a2 min(s, *).
Definition 1 Unter der Autokovarianzfunktion 7 bzw.
Autokorrelationsfunktion p einer Zeitreihe XL versteht man
j{s,t) :=cov(As,At), p(s.t) := corr (Xs, Xt) .
Die Zeitreihe heißt stationär, wenn E(A,) = /.< \/t und cov (Xs,Xt) =
c(s — t) \/s,t; d.h.. die Kovarianz hängt nur vom Abstand s — t
ab. In diesem Fall notiert man Autokovari¬anzfunktion und
7(7?) := cov (Xs,Xs+h) , p(h) :=corr(As,As+/i).
Weißes Rauschen ist also eine stationäre Zeitreihe mit
Autokorrelationsfunktion p(h) = <50,/,, die Irrfahrt ist dagegen nicht
stationär.
■50
7.2 Trends und saisonale Schwankungen
Nun können wir näher präzisieren, was wir zuvor als
"Gesetzmäßigkeiten" in Zeitreihen bezeichnet haben: Viele Zeitreihen
können in folgender Form zerlegt werden
Xt = m{t) + s(t) + Zt, (11)
wobei m(t) eine (langsam variierende) deterministische Funktion ist —
die sogenannte Trendkomponente —, s(t) eine ebenfalls
deterministische periodische Funktion — die so-genannte saisonale
Komponente —, und Zt eine stationäre Zeitreihe — die sogenannte.
Rauschkomponente oder Noise-Komponente.
7.2.1 Trends ohne saisonale Schwankungen
Modellieren wir noch einfacher
Xt = m(t) + Zt,
d.h.. die saisonale Komponente fehlt: Dann können wir den
zugrundeliegenden Trend durch mehrere Methoden herausfiltern.
7.2.1.1 Methode der kleinsten Quadrate Bei diesem Verfahren paßt man
eine Fa¬milie von Modellfunktionen so an die Beobachtungen an, daß
die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.
Das bekannteste Beispiel für solche Modellfunktionen sind die Polynome
1, t, f2,... , tn: Die Methode bedeutet dann, für die Trendkomponente
m(t) ein Näherungspoynom m(t) := «o+
a\t. -\ \- anxn anzugeben, sodaß die Summe der quadrierten
Abweichungen X)«=o(m(*) ~~
m\t))2 minimal wird.
Bemerkung 15 Wenn man zu den Modellfunktionen periodische Funktionen
dazugibt (etwa sin(27rf/10), sin(27rf/20),. ..,sin(2irt/60)). darin
kann man auf diese Weise zugleich auch eine saisonale Komponente
schätzen.
7.2.1.2 Gleitende Durchschnitte Gleitende Durchschnitte haben wir
bereits ken-nengelernt: Sie bewirken eine Glättung der Zeitreihe, die
Beispiel 10 Sei die beobachtete Zeitreihe folgende "verrauschte
X[ = a0 + a\t + Zt,
wobei Zt weißes Rauschen mit Mittelwert 0 und Varianz a2 sei.
Abbildung 19 zeigt eine graphische Veranschaulichung einer solchen
Zeitreihe.
■51
50 100 150 200 250
Abbildung 19: Verrauschte lineare Funktion: 43 + t/50 +
47
46.5
46
45.5
45 s
44.5
/^ 50 100 150
43.5
Abbildung 20: Verrauschte lineare Funktion: 43 + t/öO + Zh geglättet
X[ = ö0 + ai(t -n) + Zt
'l'
mit Zi = ö^iYl'il'o ^i-i: %i hat wieder Mittelwert 0; die Varianz var
(Zt) ist gleich <7J/'(2n + 1). D.h.. die Streuung der Rauschkomponente
wurde, reduziert, und der zugrun-deliegende Trend ist besser zu
erkennen. Abbildung 20 zeigt eine, graphische. Veranschau-lichung der
geglätteten Zeitreihe.
Bemerkung 16 Gleitende Durchschnitte wirken also als Filter, die.
lineare Trendkompo¬nenten ungestört "durchlassen''. Schon ein
quadratisches Polynom aber würde durch die. "Behandlung'' mit einem
gleitenden Durchschnitt "verformf werden. Es gibt aber spezielle Filter
für Polynome: Der sogenannte Spencersche gleitende
15-Punkte-Durchschnitt läßt kubische Polynome, in diesem Sinn
iXi — i mit o;,- = w_,- und
^
1
74. 67,46, 21, 3, —5, —6, —3).
52
7.2.1.3 Differenzenbildung Für Zeitreihen XL definieren wir den
identischen Opera¬tor / durch I(Xt) = Xi, den Lag-Operator L durch
L(Xt) := Xt-i und den Differenzen-Operator A durch Ä := I — L.
Potenzen dieser Operatoren werden induktiv definiert, also etwa Lk{X)
:= L(Lk~i-(X). Mit diesen Operatoren kann man "wie gewohnt" rechnen, so
A"(A',) = (/ - L)n(Xt) =
Während gleitende Durchschnitte aber die Rauschkomponente reduzieren,
bringen Diffe¬renzen die Trendkomponente "zum Verschwinden": Ist
nämlich die Trendkomponente ein Polynom vom Grad < k — 1, so wird
diese Komponente durch Ak "wegdifferenziert" , sodaß nur die
Rauschkomponenten übrigbleibt.
7.2.2 Trends und saisonale Schwankungen
Auch saisonale Schwankungen (aufgefaßt als periodische Funktionen)
lassen sich mit ele-mentaren Methoden "herausfiltern": Wenn die
Trendkomponente "klein" ist, kann man sie direkt schätzen; ansonsten
können wir auch wieder gleitende Durchschnitte und Diffe-renzenbildung
verwenden.
Hat man Grund zur Annahme, die Zeitreihe wäre eine verrauschte
Überlagerung von tri-gonometrischen Funktionen (Sinus-Schwingungen),
dann kann man die entsprechenden Koeffizienten natürlich auch mit der
Fourier-Transformation bestimmen.
7.3 ARMA-Prozesse
Definition 2 Die Zeitreihe (Xt)tez heißt ein ARM A(p,q)-Prozeß
(AutoRegressiver Mo-ving Average Prozeß,), wenn sie stationär ist und
für alle t
Xi - oiA',_i aipXi-p = Zi + ßiZi-i -\ h ßqZL-q (12)
gilt, wobei Zt weißes Rauschen mit Mittelwert 0 ist.
a(L)Xt = ß{L)Xh
wobei
a(x) = 1 - aLx apxp, ß(x) = 1 + ßix + h ßqxq.
Das Polynom a(x) heißt das autoregressive. Polynom, ß(x) heißt das
Moving-Average-Polynom.
■53
Ich kann hier nicht auf die Fülle der interessanten Resultate zu
dieser Klasse von Zeitreihen eingehen: Ein paar wichtige Begriffe
mögen aber als Anregung dienen, sich hier weiter zu vertiefen.
Es ist bei einem entsprechend (12) allgemein angesetzten ARMA-Viozeü
nicht von vorne-herein klar, ob überhaupt eine stationäre Lösung
Satz 1 Die Differenzengleichung a(L)Xi = Z( besitzt genau dann eine
stationäre Lösung, wenn das Polynom a(z) keine Nullstellen am
Einheitskreis hat.
Definition 3 Ein ARM A(p,q)-Prozeß heißt kausal, wenn es eine
quadratisch summier bare Folge, von Konstanten (pk)k>o gibt, sodaß
j=o
Diese Definition ist einleuchtend: Wenn wir an Zeitreihen interessiert
sind, die wir progno-stizieren wollen, dann können wir ja immer nur
jeweils vergangene Zeitpunkte betrachten; eine "Gesetzmäßigkeit" für
die Zeitreihe, in die auch zukünftige Zeitpunkt einfließen, kann zwar
mathematisch durchaus interessant sein, ist aber für Zwecke der
"Technischen Ana¬lyse" unbrauchbar.
Satz 2 Ein ARMA(p, 1)-Prozeß ist genau dann kausal, wenn die
Nullstellen des Polynoms a(x) alle, außerhalb des Einheitskreises
Wir könnten nun für stationäre Lösungen von (12) die
Autokovarianzfunktion bestimmen, und umgekehrt versuchen, aus einer
empirisch geschätzten Autokovarianzfunktion die Po¬lynome a(x) und
ß(x) zu bestimmen: Wenn letzteres gelänge, wäre das ein gutes
Beispiel für jenes "Herausfinden einer zugrundeliegenden
Gesetzmäßigkeit" einer Zeitreihe, von der wir zuvor sprachen. Die
Sätze. Methoden und Algorithmen in diesem Zusammenhang sprengen
freilich den Rahmen dieser Einführung: Interessierte seien wieder auf
das Buch von Brockwell/Davis [2] verwiesen.
8 Neuronale Netze
Zum Abschluß dieser kursorischen Einführung wollen wir noch die
sogenannten Neuronalen Netze vorstellen: WTie gesagt, geht es bei der
"Technischen Analyse" ja darum, günstige Momente für Kauf und Verkauf
von Finanzinstrumenten aus vergangenen Preisinformatio¬nen
herauszulesen. Für diese Aufgabe scheint das menschliche Gehirn
prinzipiell geeignet — jedenfalls gibt es bei den Banken und
Investmentfirmen in der Regel Personen, die ge¬nau das versuchen. Was
liegt also näher, als die Denkweise des menschlichen Gehirns am
■54
Interior Layer Interior Layer Output Layer
Abbildung 21: Neuronales Netz
Computer zu simulieren, und von seiner größeren Speicherkapazität
(wenn es um lange Zeitreihen geht), Verarbeitungsgeschwindigkeit und
Genauigkeit zu profitieren? — Genau diesen Ansatz eines "Modells des
Gehirns" verfolgen die sogenannten neuronalen Netze.
Ich kann hier wieder nicht mehr als einige Grundbegriffe bringen, die
als Einstieg dienen können: Mehr Details findet man etwa im Buch von
Haykin [3].
8.1 Grundlage: Neurologisches Hirnmodell
Der Ausgangspunkt ist ein Modell der Arbeitsweise des menschlichen
Gehirns, das aus Nervenzellen (Neuronen — daher der Name Neuronale.
Netze) aufgebaut ist, die in einer komplexen Weise miteinander
verbunden sind und schwache elektrische Ströme weiterlei¬ten.
Die Information bzw. das "Wissen" ist dann quasi in der "Topologie"
dieses Netzes codiert, und in der Art und Weise, wie die Neuronen die
Ströme beim Durchleiten beeinflussen.
8.2 Topologie eines Neuronalen Netzes: Gerichtete Graphen
Die "Topologie" kann in der Sprache der Graphentheorie beschrieben
werden: Das Netz aus Neuronen erscheint als gerichteter Graph;
vergleiche Abbildung 21.
8.3 Aktivierung eines Neuronalen Netzes: Sigmoide Funktionen
Die Art und Weise, wie elektrische Ströme durchs Netz fließen, kann
durch "Gewichte" auf den Kanten des gerichteten Graphen sowie durch
"Aktivierungsfunktionen" beschrie-
Inputs
"Aktivierungsfunktion"
y
y
v
"Summations-Verbindung" \ — xp
"Synaptische Gewichte"
Abbildung 22: Neuronen: Gewichte, Aktivierungsfunktion
1
0.8 0.6 0 .4 0.2
-10 -5 5 10
Abbildung 23: Sigmoide Funktion -r-——,—r für a = 1
" " l+exp(u;c)
Lichtreize von der Netzhaut) durch ein Netz von Neuronen laufen, dabei
mit bestimmten Gewichten multi¬pliziert (also verstärkt oder
abgeschwächt) werden; die Summe solcher Reize laufen dann in
Verbindungen zusammen, von wo aus sie mit einer Aktivierungsfunktion
transformiert und dann weitergeschickt werden. Dies ist in Abbildung 22
veranschaulicht.
Die Aktivierungsfunktionen, die man hier verwendet, haben den Charakter
von "Schwel-lenwerten" : Unterhalb eines Schwellenwerts "spielt sich
gar nichts ab" darüber springt der Fluß des elektrischen Stroms
unstetig oder stetig an. Sehr häufig verwendet man in der
für einen reellen Parameter
Praxis sigmoide Funktionen (d.h., S-förmige), wie z.B.
l+exp(a;c)
a. Abbildung 23 zeigt die "S-förmige" Gestalt einer sigmoiden
Funktion.
8.4 Lernen eines Neuronalen Netzes
Soweit haben wir nur eine Beschreibung einer Transformation von
Inputdaten in Outputda¬ten geliefert: Der Witz an der Sache ist der,
daß ein solches Neuronales Netz relativ einfach
■56
am Computer "simuliert" werden kann, und daß jener Teil seines
"Wissens", der in den Gewichten repräsentiert ist. veränderbar ist
(die Topologie wird dagegen meist konstant vorgegeben): Das Neuronale
Netz "lernt" das richtige "Verhalten" durch die Präsentation von
"Trainings-Daten" und eine nachfolgende Adaptierung der Gewichte,
abhängig davon, wie erfolgreich es die gewünschten Outputs erzeugt
hat.
All diese vage formulierten Vorgänge lassen sich geeignet (aber den
Rahmen dieser Ein¬führung sprengend) präzisieren und am Computer
implementieren: Tatsächlich werden Neuronale Netze in verschiedenen
praktischen Anwendungen mit Erfolg eingesetzt.
Für unser Anwendungsgebiet "Technische Analyse" müßte man sich die
Inputdaten als einen Vektor der letzten n Preisdaten (also einen
Abschnitt der Preiszeitreihe) denken; der gewünschte Output wäre dann
eine (jedenfalls im Erwartungswert) brauchbare Vorhersage der
Kursentwicklung.